2025年高数A(二)期末第一-8题
📝 题目
8．下列级数发散的是 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析选项A
选项A的级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{1+n^{3}}}$。考虑比较判别法，与 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ 比较。由于 $\frac{1}{\sqrt{1+n^{3}}} \leq \frac{1}{n^{3/2}}$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ 是收敛的p级数（p=3/2>1），因此选项A的级数收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} \text{ 收敛当且仅当 } p>1$$
提示：注意比较时不等号方向要正确
步骤 2/7
目标：分析选项B
选项B的级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$。这是一个交错级数，满足莱布尼茨判别法的条件：$\frac{1}{n}$ 单调递减且趋于0，因此该级数收敛。
提示：交错级数满足莱布尼茨条件则收敛
步骤 3/7
目标：分析选项C
选项C的级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^{2}}$。由于 $|\sin n| \leq 1$，因此 $\left|\frac{\sin n}{n^{2}}\right| \leq \frac{1}{n^{2}}$。而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 是收敛的p级数（p=2>1），因此选项C的级数绝对收敛，从而收敛。
公式：$$\left|\frac{\sin n}{n^{2}}\right| \leq \frac{1}{n^{2}}$$
提示：注意绝对值放缩后比较级数收敛性
步骤 4/7
目标：分析选项D
选项D的级数为 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}$。考虑比较判别法，与 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$ 比较。由于 $\ln n < n$，因此 $\frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n}$。而 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是发散的调和级数，因此选项D的级数发散。
公式：$$\frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n}$$
提示：注意比较时不等式方向
步骤 5/7
目标：总结选项A-D
综上所述，选项A、B、C的级数都收敛，只有选项D的级数发散。因此正确答案是D。
提示：注意区分收敛与发散的条件
步骤 6/7
目标：分析积分次序交换
原积分为 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} f(x, y) \mathrm{d} x$。积分区域为 $0 \leq y \leq 1$，$y \leq x \leq 1$。交换积分次序后，x的范围是0到1，对于每个x，y的范围是0到x。因此交换后的积分为 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y$。
公式：$$\int_{0}^{1} \mathrm{d} y \int_{y}^{1} f(x, y) \mathrm{d} x = \int_{0}^{1} \mathrm{d} x \int_{0}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y$$
提示：注意积分区域边界的正确转换
步骤 7/7
目标：匹配选项
对比选项，C选项 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y$ 与交换后的积分一致，因此正确答案是C。
提示：注意积分次序交换后形式是否一致
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