2025年高数A(二)期末第一-9题
📝 题目
9．交换积分 $\displaystyle{\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} f(x, y) \mathrm{d} x}$ 的积分次序的结果为 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定积分区域
原积分次序为先 y 后 x：y 从 0 到 1，对于每个 y，x 从 y 到 1。因此积分区域 D = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤ 1}。
提示：注意积分限的对应关系
步骤 2/3
目标：将区域用 x 型表示
在 x 型表示中，先固定 x，再确定 y 的范围。由区域可知 x 从 0 到 1，对于每个 x，y 从 0 到 x（因为 y ≤ x 且 y ≥ 0）。
提示：注意积分限的对应关系
步骤 3/3
目标：写出交换次序后的积分
交换次序后积分形式为 ∫_{x=0}^{1} dx ∫_{y=0}^{x} f(x, y) dy，对应选项 C。
公式：$$\int_{0}^{1} \mathrm{d} y \int_{y}^{1} f(x, y) \mathrm{d} x = \int_{0}^{1} \mathrm{d} x \int_{0}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y$$
提示：注意积分区域边界对应关系
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