2025年高数A(二)期末第一-10题
📝 题目
10．将二重积分 $\displaystyle{\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma}$ 表达为极坐标系下的二重积分为 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆极坐标变换公式
在极坐标系下，直角坐标 (x, y) 与极坐标 (r, θ) 的关系为：x = r cosθ, y = r sinθ。
公式：$$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$$
提示：注意面积元为r dr dθ
步骤 2/5
目标：面积元素变换
直角坐标系下的面积元素 dσ = dx dy 在极坐标系下变为 r dr dθ。
公式：$$\mathrm{d}\sigma = r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta$$
提示：注意极坐标面积元素多一个r因子
步骤 3/5
目标：被积函数的替换
将 f(x, y) 中的 x 和 y 分别替换为 r cosθ 和 r sinθ，即 f(x, y) → f(r cosθ, r sinθ)。
公式：$$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$$
提示：注意x和y的替换顺序
步骤 4/5
目标：写出极坐标下的二重积分形式
综合以上，二重积分在极坐标系下表示为 ∬_D f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, d\sigma = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr \, d\theta$$
提示：注意极坐标变换中面积元为r dr dθ
步骤 5/5
目标：选择正确选项
对照选项，只有B选项符合上述形式，因此答案为B。
提示：注意极坐标变换的积分限和面积元
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