2025年高数A(二)期末第二-1题
📝 题目
1．假设 $\displaystyle{f(x)=\int_{1}^{x^{2}} \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t}$ ，那么 $f^{\prime}(2)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求 $f'(x)$
给定 $f(x)=\int_{1}^{x^{2}} \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t$，这是一个积分上限函数。根据积分上限函数的导数公式，如果 $F(x) = \int_{a}^{u(x)} g(t) \mathrm{d} t$，那么 $F'(x) = g(u(x)) \cdot u'(x)$。因此，$f'(x) = \frac{\ln (x^2)}{1 + x^2} \cdot (2x)$。
公式：$$F'(x) = g(u(x)) \cdot u'(x)$$
提示：注意上限是x²，需用链式法则
步骤 2/3
目标：化简 $f'(x)$
化简导数表达式：$f'(x) = \frac{2x \ln (x^2)}{1 + x^2}$。注意到 $\ln (x^2) = 2 \ln x$，因此 $f'(x) = \frac{4x \ln x}{1 + x^2}$。
公式：$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{g(x)} f(t) dt = f(g(x)) \cdot g'(x)$$
提示：注意复合函数求导时内层函数要乘导数
步骤 3/3
目标：计算 $f'(2)$
将 $x = 2$ 代入导数表达式：$f'(2) = \frac{4 \cdot 2 \cdot \ln 2}{1 + 2^2} = \frac{8 \ln 2}{5}$。
公式：$$f'(x) = \frac{2x \cdot \ln(x^2)}{1 + x^2}$$
提示：注意复合函数求导时内层导数
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