2025年高数A(二)期末第二-2题
📝 题目
2．已知 $\displaystyle{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=3}$ ，那么 $\displaystyle{\int_{0}^{1} x f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x=}$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：换元
令 $t = x^2$，则 $\mathrm{d}t = 2x \mathrm{d}x$，即 $x \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \mathrm{d}t$。
公式：$$\int x f(x^2) \, dx = \frac{1}{2} \int f(t) \, dt$$
提示：注意积分上下限也要相应变换
步骤 2/4
目标：变换积分限
当 $x=0$ 时，$t=0$；当 $x=1$ 时，$t=1$。
提示：注意换元后积分限对应变化
步骤 3/4
目标：代入原积分
原积分 $\int_0^1 x f(x^2) \mathrm{d}x = \int_0^1 f(t) \cdot \frac{1}{2} \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int_0^1 f(t) \mathrm{d}t$。
公式：$$\int_{0}^{1} x f(x^2) \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d}t$$
提示：注意换元后积分限不变
步骤 4/4
目标：利用已知条件
已知 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = 3$，所以 $\frac{1}{2} \times 3 = \frac{3}{2}$。
提示：注意换元后积分限的变化
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。