2025年高数A(二)期末第二-4题
📝 题目
4．微分方程 $y^{\prime \prime \prime}+\left(y^{\prime \prime}\right)^{4}+2 y^{\prime \prime} y^{\prime}+y^{2}+2 x=0$ 的阶数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：微分方程的阶数
微分方程的阶数由方程中出现的最高阶导数的阶数决定。在方程 $y''' + (y'')^4 + 2y''y' + y^2 + 2x = 0$ 中，最高阶导数是 $y'''$，因此阶数为 3。
提示：最高阶导数是三阶，不是四阶
步骤 2/7
目标：极限的计算
计算极限 $\lim_{(x, y) \rightarrow (0,0)} \frac{\sin(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}$。令 $t = x^2 + y^2$，当 $(x, y) \rightarrow (0,0)$ 时，$t \rightarrow 0$。因此，极限变为 $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\sin t}{t} = 1$。
公式：$$\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$$
提示：注意变量替换后极限过程的变化
步骤 3/7
目标：偏导数的计算
已知 $z = \sin(xy)$，首先计算一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x} = y \cos(xy)$，然后对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 关于 $y$ 求偏导数，得到 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \cos(xy) - xy \sin(xy)$。
公式：$$\frac{\partial z}{\partial x} = y \cos(xy), \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \cos(xy) - xy \sin(xy)$$
提示：注意乘积法则和链式法则的运用
步骤 4/7
目标：二重积分的计算
区域 $D$ 由 $x=0$, $y=0$, $x+y=1$ 围成，积分 $\iint_D d\sigma$ 表示区域 $D$ 的面积。这是一个直角三角形，面积为 $\frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$。
公式：$$\iint_D d\sigma = \text{面积}$$
提示：注意积分区域是三角形
步骤 5/7
目标：幂级数的收敛半径
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n$ 的收敛半径 $R$ 可以通过比值法计算：$R = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} = 1$。
公式：$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$$
提示：注意比值法求收敛半径时系数为n
步骤 6/7
目标：全微分的计算
已知 $z = 2x^2 y + x y^2$，计算偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x} = 4xy + y^2$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^2 + 2xy$。在点 $(1,1)$ 处，$\frac{\partial z}{\partial x} = 4 \times 1 \times 1 + 1^2 = 5$，$\frac{\partial z}{\partial y} = 2 \times 1^2 + 2 \times 1 \times 1 = 4$。因此，全微分为 $dz = 5 dx + 4 dy$。
公式：$$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy$$
提示：注意偏导数计算时变量区分
步骤 7/7
目标：级数的收敛性
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，根据级数收敛的必要条件，$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0$。
公式：$$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$$
提示：收敛级数通项必趋于0，反之不成立
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