2025年高数A(二)期末第二-7题
📝 题目
7．假设 $D$ 是由 $x=0, y=0, x+y=1$ 围成的第一象限的有限区域，那么 $\displaystyle{\iint_{D} d \sigma=}$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定积分区域
积分区域 $\mathbf{D}$ 是由 $x=0$, $y=0$, $x+y=1$ 围成的第一象限的有限区域，这是一个直角三角形，顶点在 $(0,0)$, $(1,0)$, $(0,1)$。
提示：注意区域边界方程和顶点坐标
步骤 2/5
目标：设置积分限
对于二重积分 $\iint_{\mathbf{D}} d\sigma$，可以表示为 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} dy dx$。
公式：$$\iint_D d\sigma = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} dy\,dx$$
提示：注意积分区域边界为直线x+y=1
步骤 3/5
目标：计算内积分
计算内积分 $\int_{0}^{1-x} dy = y \big|_{0}^{1-x} = 1 - x$。
公式：$$\int_{0}^{1-x} dy = y \big|_{0}^{1-x} = 1 - x$$
提示：注意积分限是变量1-x
步骤 4/5
目标：计算外积分
计算外积分 $\int_{0}^{1} (1 - x) dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
公式：$$\int_{0}^{1} (1 - x) dx = \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$$
提示：注意积分上下限对应区域边界
步骤 5/5
目标：得出结果
因此，$\iint_{\mathbf{D}} d\sigma = \frac{1}{2}$。
公式：$$\iint_D d\sigma = \text{区域面积}$$
提示：注意区域是三角形，面积公式为底乘高除以2
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