2025年高数A(二)期末第二-8题
📝 题目
8．幂级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}}$ 的收敛半径 $R=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求幂级数的收敛半径
对于幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}$，使用比值法求收敛半径。\n计算 $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+1}{n} \right| = 1$。\n因此，收敛半径 $R = \frac{1}{1} = 1$。
公式：$$R = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|} = \frac{1}{1} = 1$$
提示：注意系数a_n是n，不是x^n
步骤 2/3
目标：计算全微分
给定函数 $z = 2x^2y + xy^2$，首先计算偏导数：\n$\frac{\partial z}{\partial x} = 4xy + y^2$，\n$\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^2 + 2xy$。\n在点 $(1,1)$ 处，\n$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)} = 4 \times 1 \times 1 + 1^2 = 5$，\n$\frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(1,1)} = 2 \times 1^2 + 2 \times 1 \times 1 = 4$。\n因此，全微分为 $dz = 5dx + 4dy$。
提示：步骤与题目无关，请检查
步骤 3/3
目标：级数收敛的必要条件
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，根据级数收敛的必要条件，\n$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
提示：这里不是求通项极限，而是求收敛半径
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