2025年高数A(二)期末第二-9题
📝 题目
9．假设 $z=2 x^{2} y+x y^{2}$ ，那么它在点 $(1, 1)$ 点的全微分 $\left.d z\right|_{(1, 1)}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算偏导数
首先计算函数 $z = 2x^2y + xy^2$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x} = 4xy + y^2$
偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y} = 2x^2 + 2xy$
公式：$$\frac{\partial z}{\partial x} = 4xy + y^2, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2x^2 + 2xy$$
提示：注意对x求偏导时y视为常数
步骤 2/4
目标：在点 (1,1) 处求偏导数值
将点 $(1,1)$ 代入偏导数表达式：
$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)} = 4(1)(1) + (1)^2 = 4 + 1 = 5$
$\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,1)} = 2(1)^2 + 2(1)(1) = 2 + 2 = 4$
公式：$$\left.dz\right|_{(1,1)} = \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)} dx + \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(1,1)} dy$$
提示：代入点坐标时注意变量对应
步骤 3/4
目标：写出全微分表达式
全微分的定义为 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$。
在点 $(1,1)$ 处的全微分为：
$\left.dz\right|_{(1,1)} = 5dx + 4dy$
公式：$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$$
提示：注意偏导数的计算和点的代入
步骤 4/4
目标：级数收敛的必要条件
对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛的必要条件是 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
因此，$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$。
提示：步骤与题目无关，请检查
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