2025年高数A(二)期末第三-1题
📝 题目
1． $\displaystyle{\int_{\frac{2}{3}}^{2}(3 x-2)^{2025} \mathrm{~d} x}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：换元
令 $t = 3x - 2$，则 $\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\mathrm{d}t$。
公式：$$\int f(ax+b) \, dx = \frac{1}{a} \int f(t) \, dt, \quad t = ax+b$$
提示：注意dx与dt的转换系数1/3
步骤 2/4
目标：换积分限
当 $x = \frac{2}{3}$ 时，$t = 3\cdot\frac{2}{3} - 2 = 0$；当 $x = 2$ 时，$t = 3\cdot2 - 2 = 4$。
提示：注意换元后积分限要对应新变量
步骤 3/4
目标：代入积分
原积分化为 $\int_{0}^{4} t^{2025} \cdot \frac{1}{3} \mathrm{d}t = \frac{1}{3}\int_{0}^{4} t^{2025} \mathrm{d}t$。
公式：$$\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du$$
提示：注意换元后积分上下限的变化
步骤 4/4
目标：计算定积分
$\frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{t^{2026}}{2026} \right]_{0}^{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4^{2026}}{2026}$。
公式：$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \frac{1}{k} \int_{u(a)}^{u(b)} u^{n} \, du$$
提示：注意换元后积分限的变化
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