2025年高数A(二)期末第三-2题
📝 题目
2． $\displaystyle{\int_{1}^{e} \frac{\mathrm{~d} x}{x(1+\ln x)}}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：观察被积函数，考虑换元
被积函数为 1/(x(1+ln x))，注意到分母中有 ln x，且 x 在分母中，可令 t = ln x，则 dt = (1/x) dx。
公式：$$\int \frac{1}{x(1+\ln x)} \, dx = \int \frac{1}{1+t} \, dt$$
提示：注意换元后dx与dt的对应关系
步骤 2/4
目标：换元并变换积分限
当 x = 1 时，t = ln 1 = 0；当 x = e 时，t = ln e = 1。原积分化为 ∫_{0}^{1} 1/(1+t) dt。
公式：$$\int_{1}^{e} \frac{dx}{x(1+\ln x)} = \int_{0}^{1} \frac{dt}{1+t}$$
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 3/4
目标：计算新积分
∫_{0}^{1} 1/(1+t) dt = ln|1+t| 从 0 到 1 = ln(2) - ln(1) = ln 2。
公式：$$\int \frac{1}{1+t} dt = \ln|1+t| + C$$
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 4/4
目标：得出结果
原积分值为 ln 2。
公式：$$\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C$$
提示：注意换元后积分限的变化
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