2025年高数A(二)期末第三-3题
📝 题目
3． $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \mathrm{~d} x}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：选择分部积分公式
令 u = x, dv = sin x dx，则 du = dx, v = -cos x。分部积分公式：∫ u dv = uv - ∫ v du。
公式：$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$
提示：注意u和dv的选取，避免循环积分
步骤 2/3
目标：代入公式计算
∫ x sin x dx = -x cos x - ∫ (-cos x) dx = -x cos x + ∫ cos x dx = -x cos x + sin x + C。
公式：$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$
提示：注意分部积分中u和dv的选择
步骤 3/3
目标：代入上下限求定积分
∫_{0}^{π/2} x sin x dx = [-x cos x + sin x]_{0}^{π/2} = [-(π/2)·0 + 1] - [0 + 0] = 1。
公式：$$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$$
提示：注意代入上下限时符号和计算顺序
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