2025年高数A(二)期末第四-2题
📝 题目
2．计算二重积分 $\displaystyle{\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}$ ，其中 $D$ 由直线 $y=0, y=x, x=2$ 围成。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定积分区域
区域D由直线y=0（x轴）、y=x、x=2围成，为x从0到2，y从0到x的三角形区域。
提示：注意积分限的对应关系
步骤 2/5
目标：化为累次积分
将二重积分化为先对y后对x的累次积分：∬_D xy dxdy = ∫_{x=0}^{2} ∫_{y=0}^{x} xy dy dx。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_{x=a}^{b} \int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \, dx$$
提示：注意积分限对应变量顺序
步骤 3/5
目标：计算内层积分
先对y积分：∫_{y=0}^{x} xy dy = x * [y^2/2]_{0}^{x} = x * (x^2/2) = x^3/2。
公式：$$\int_{0}^{x} xy \, dy = x \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{x^3}{2}$$
提示：注意将x视为常数，积分变量是y
步骤 4/5
目标：计算外层积分
再对x积分：∫_{0}^{2} (x^3/2) dx = (1/2) * [x^4/4]_{0}^{2} = (1/2) * (16/4) = (1/2)*4 = 2。
公式：$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$
提示：注意积分上下限代入顺序
步骤 5/5
目标：得出结果
二重积分的值为2。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_{x_1}^{x_2} \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \, dy \, dx$$
提示：注意积分区域边界和积分次序
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