2025年高数A(二)期末第五-2题
📝 题目
2．已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+2 y=0$ 有一个解为 $y=e^{2 x}$ ，求 $a$ 并求该微分方程的通解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：代入已知解确定参数a
已知微分方程 y'' + a y' + 2y = 0 有一个解 y = e^{2x}，则 y' = 2e^{2x}，y'' = 4e^{2x}。代入方程得：4e^{2x} + a·2e^{2x} + 2e^{2x} = 0，即 (4 + 2a + 2)e^{2x} = 0，故 2a + 6 = 0，解得 a = -3。
公式：$$y''+ay'+2y=0$$
提示：代入解时注意求导正确
步骤 2/5
目标：写出微分方程并求特征根
将 a = -3 代入原方程得 y'' - 3y' + 2y = 0。特征方程为 r^2 - 3r + 2 = 0，因式分解得 (r-1)(r-2)=0，特征根 r1=1，r2=2。
公式：$$r^2 - 3r + 2 = 0$$
提示：注意特征方程系数与微分方程对应
步骤 3/5
目标：写出通解
由于特征根为两个不相等的实根，通解为 y = C1 e^{x} + C2 e^{2x}，其中 C1, C2 为任意常数。
公式：$$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$$
提示：注意特征根为两个不相等的实根
步骤 4/5
目标：求函数f(x,y)的驻点
函数 f(x,y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5。求偏导数：f_x = 2x - 2，f_y = 2y - 4。令 f_x=0, f_y=0，解得 x=1，y=2，故驻点为 (1,2)。
提示：注意驻点需同时满足两个偏导为零
步骤 5/5
目标：判断极值类型
计算二阶偏导数：f_xx = 2，f_yy = 2，f_xy = 0。判别式 Δ = f_xx·f_yy - (f_xy)^2 = 2×2 - 0 = 4 > 0，且 f_xx=2>0，故 (1,2) 为极小值点，极小值为 f(1,2)=1+4-2-8+5=0。
提示：步骤与题目无关，请检查
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