2025年高数A(二)期末第五-3题
📝 题目
3．求函数 $f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x-4 y+5$ 的极值点，并判断极值类型．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求一阶偏导数
计算函数 f(x,y)=x²+y²-2x-4y+5 对 x 和 y 的偏导数：
f_x = 2x - 2，f_y = 2y - 4
公式：$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x - 2, \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2y - 4$$
提示：注意常数项导数为0
步骤 2/5
目标：求驻点
令偏导数为零：
2x - 2 = 0 ⇒ x = 1
2y - 4 = 0 ⇒ y = 2
得到驻点 (1, 2)
公式：$$\frac{\partial f}{\partial x}=2x-2=0, \frac{\partial f}{\partial y}=2y-4=0$$
提示：注意偏导数为零是必要条件
步骤 3/5
目标：求二阶偏导数
计算二阶偏导数：
f_xx = 2，f_yy = 2，f_xy = 0
提示：二阶偏导数为常数，无需代入点计算
步骤 4/5
目标：计算判别式并判断极值类型
计算海森矩阵的行列式：
D = f_xx * f_yy - (f_xy)² = 2×2 - 0² = 4 > 0
且 f_xx = 2 > 0，因此驻点 (1, 2) 是极小值点。
公式：$$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$$
提示：注意判别式D>0且f_xx>0才是极小值
步骤 5/5
目标：计算极小值
将 (1, 2) 代入原函数：
f(1,2) = 1² + 2² - 2×1 - 4×2 + 5 = 1 + 4 - 2 - 8 + 5 = 0
极小值为 0。
提示：代入时注意符号和计算顺序
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