2025年高数A(二)期末第五-4题
📝 题目
4．判断级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n!}}$ 的收敛性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定审敛方法
由于级数通项含有阶乘和指数函数，考虑使用比值审敛法（达朗贝尔判别法）。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} = 0 < 1$$
提示：注意阶乘展开和指数化简
步骤 2/4
目标：计算相邻项比值
设通项为 a_n = 3^n / n!，则 a_{n+1} = 3^{n+1} / (n+1)!，计算比值：a_{n+1} / a_n = [3^{n+1} / (n+1)!] * [n! / 3^n] = 3 / (n+1)。
公式：$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{n+1}$$
提示：注意n!和(n+1)!的约分
步骤 3/4
目标：求极限
计算极限：lim_{n→∞} |a_{n+1} / a_n| = lim_{n→∞} 3/(n+1) = 0。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} = 0$$
提示：注意比值判别法中分母n!的增长速度远快于指数3^n
步骤 4/4
目标：根据比值审敛法判断
由于极限值 0 < 1，根据比值审敛法，级数 ∑_{n=1}^{∞} 3^n / n! 绝对收敛，因此原级数收敛。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} = 0$$
提示：注意n!的增长速度远快于指数函数
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