2019年高数A(二)期末第一-2题
📝 题目
2．假设 $\displaystyle{y=\int_{0}^{x}(t-1)^{2}(t+2) d t}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}=$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：第一题解答
题目要求求 $y=\int_{0}^{x}(t-1)^{2}(t+2) d t$ 在 $x=0$ 处的导数 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}$。根据微积分基本定理，如果 $y = \int_{a}^{x} f(t) dt$，那么 $\frac{dy}{dx} = f(x)$。因此，$\frac{dy}{dx} = (x-1)^2(x+2)$。将 $x=0$ 代入，得到 $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = (0-1)^2(0+2) = 1 \times 2 = 2$。所以正确答案是 D。
公式：$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$$
提示：注意积分上限是变量x，直接代入被积函数。
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