2019年高数A(二)期末第一-3题
📝 题目
3．下列选项中，是微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+x y=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ 的解的是（ ）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别方程类型
方程 y' + x y = e^{-x^2/2} 是一阶线性微分方程，标准形式为 y' + P(x)y = Q(x)，其中 P(x)=x，Q(x)=e^{-x^2/2}。
公式：$$y' + P(x)y = Q(x)$$
提示：注意标准形式中P(x)和Q(x)的识别
步骤 2/6
目标：验证选项A
将 y = e^{-x^2/2} 代入：y' = -x e^{-x^2/2}，则左边 = -x e^{-x^2/2} + x e^{-x^2/2} = 0，右边 = e^{-x^2/2}，不相等，故A不是解。
公式：$$y' + xy = e^{-\frac{x^2}{2}}$$
提示：代入后需检查左右是否相等
步骤 3/6
目标：验证选项B
将 y = x e^{-x^2/2} 代入：y' = e^{-x^2/2} - x^2 e^{-x^2/2}，左边 = (e^{-x^2/2} - x^2 e^{-x^2/2}) + x·x e^{-x^2/2} = e^{-x^2/2}，右边 = e^{-x^2/2}，相等，故B是解。
公式：$$y' + xy = e^{-\frac{x^2}{2}}$$
提示：注意乘积求导法则的正确应用
步骤 4/6
目标：验证选项C
将 y = e^{x^2/2} 代入：y' = x e^{x^2/2}，左边 = x e^{x^2/2} + x e^{x^2/2} = 2x e^{x^2/2}，右边 = e^{-x^2/2}，不相等，故C不是解。
公式：$$y' + xy = e^{-\frac{x^2}{2}}$$
提示：代入后需检查左右是否恒等
步骤 5/6
目标：验证选项D
将 y = x e^{x^2/2} 代入：y' = e^{x^2/2} + x^2 e^{x^2/2}，左边 = (e^{x^2/2} + x^2 e^{x^2/2}) + x·x e^{x^2/2} = e^{x^2/2} + 2x^2 e^{x^2/2}，右边 = e^{-x^2/2}，不相等，故D不是解。
公式：$$y' + xy = e^{-\frac{x^2}{2}}$$
提示：代入后左右两边要完全相等
步骤 6/6
目标：得出结论
只有选项B满足微分方程，因此正确答案是B。
提示：代入验证时需计算导数并化简
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