2019年高数A(二)期末第一-4题
📝 题目
4．如果级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}}$ 收敛，那么 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别级数类型
该级数为等比级数（几何级数）∑_{n=1}^{∞} q^n，首项为q，公比为q。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} q^n = \frac{q}{1-q} \quad (|q|<1)$$
提示：注意公比q的绝对值小于1是收敛条件
步骤 2/3
目标：回忆等比级数收敛条件
等比级数∑_{n=0}^{∞} ar^n 收敛当且仅当|r|<1；当|r|≥1时发散。此处a=q，r=q，故收敛条件为|q|<1。
公式：$$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n \text{ 收敛当且仅当 } |r|<1$$
提示：注意首项和公比均为q
步骤 3/3
目标：选择正确选项
根据收敛条件|q|<1，对应选项D：|q|<1。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} q^n \text{ 收敛当且仅当 } |q| < 1$$
提示：注意q=0时级数也收敛
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