2019年高数A(二)期末第一-6题
📝 题目
6．下列级数中，绝对收敛的是（ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解绝对收敛的定义
级数绝对收敛是指其各项取绝对值后构成的级数收敛。因此需要分别判断每个选项的绝对值级数的收敛性。
提示：注意区分绝对收敛与条件收敛
步骤 2/6
目标：分析选项A
选项A：∑(-1)^n * (1/n)，取绝对值后为∑(1/n)，这是调和级数，发散。所以A不是绝对收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \text{ 发散}$$
提示：调和级数发散，需牢记
步骤 3/6
目标：分析选项B
选项B：∑(-1)^n * (1/√n)，取绝对值后为∑(1/n^(1/2))，这是p=1/2的p-级数，p≤1时发散。所以B不是绝对收敛。
公式：$$\sum \frac{1}{n^p}$$
提示：注意p-级数收敛条件p>1
步骤 4/6
目标：分析选项C
选项C：∑(-1)^n * (1/n^2)，取绝对值后为∑(1/n^2)，这是p=2的p-级数，p>1时收敛。所以C绝对收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ 收敛当且仅当 } p > 1$$
提示：注意p-级数收敛条件：p>1收敛，p≤1发散
步骤 5/6
目标：分析选项D
选项D：∑(-1)^n * (n/(n+1))，通项不趋于0（极限为1），级数本身发散，更谈不上绝对收敛。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1$$
提示：注意通项不趋于0是级数发散的充分条件
步骤 6/6
目标：得出结论
只有选项C的绝对值级数收敛，因此绝对收敛的是C。
提示：注意区分绝对收敛与条件收敛
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