2019年高数A(二)期末第一-8题
📝 题目
8．设积分区域 $\displaystyle D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} ; D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 2\right\} ; D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} \leq 1\right.\right\}$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析被积函数
被积函数为 f(x,y)=1-(x²+½y²)。令 f(x,y)=0 得 x²+½y²=1，这是椭圆边界。在椭圆内部 f>0，外部 f<0。
公式：$$x^2+\frac{1}{2}y^2=1$$
提示：注意椭圆内部f>0，外部f<0
步骤 2/4
目标：比较各积分区域与椭圆的关系
D₁：单位圆 x²+y²≤1，完全位于椭圆 x²+½y²=1 内部（因为 x²+y²≤1 时 x²+½y²≤1），故 f>0，积分 I₁>0。
D₂：圆 x²+y²≤2，包含椭圆外部区域，部分 f<0，积分可能减小。
D₃：区域为 ½x²+y²≤1，即椭圆 x²+½y²=1 旋转90°后的椭圆，与 f=0 的椭圆不同，部分区域 f<0。
D₄：区域为 x²+½y²≤1，恰好是 f≥0 的区域，且 f 在边界上为0，内部全为正。
提示：注意椭圆方程与积分区域边界的对应关系
步骤 3/4
目标：确定最大值
I₄ 是在 f≥0 的全部区域上积分，而 I₁ 只取其中一部分（单位圆），所以 I₄ > I₁。I₂ 和 I₃ 包含负值区域，积分值小于 I₄。因此最大值为 I₄。
提示：注意积分区域与函数正负的关系
步骤 4/4
目标：选择答案
对应选项 D：I₄。
提示：注意积分区域对称性与被积函数奇偶性
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