2019年高数A(二)期末第三-2题
📝 题目
2． $\displaystyle{\int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{x \sqrt{1-(\ln x)^{2}}} d x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：换元
令 $t = \ln x$，则 $dt = \frac{1}{x} dx$，当 $x=1$ 时 $t=0$，当 $x=\sqrt{e}$ 时 $t=\frac{1}{2}$。
公式：$$t = \ln x, \quad dt = \frac{1}{x} dx$$
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 2/3
目标：积分变换
原积分化为 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt$。
公式：$$\int \frac{1}{x \sqrt{1-(\ln x)^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt, \quad t=\ln x$$
提示：注意积分上下限的变换
步骤 3/3
目标：计算积分
该积分为 $\arcsin t$ 从 $0$ 到 $\frac{1}{2}$，即 $\arcsin\frac{1}{2} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}$。
公式：$$\int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} du = \arcsin u + C$$
提示：注意换元后积分上下限的变化
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