2019年高数A(二)期末第四-2题
📝 题目
2．$f(x, y)=x^{y^{2}+1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别函数类型
函数 f(x,y)=x^{y^2+1} 是幂指函数，底数和指数都含有变量，求偏导时需使用对数求导法或转化为指数形式。
提示：注意底数和指数都含变量
步骤 2/4
目标：转化为指数形式
将函数写为 f(x,y)=e^{(y^2+1)\ln x}，便于分别对 x 和 y 求偏导。
公式：$$f(x,y)=e^{(y^2+1)\ln x}$$
提示：注意x>0，否则lnx无定义
步骤 3/4
目标：求关于 x 的偏导数
将 y 视为常数，对 x 求导：f_x = e^{(y^2+1)\ln x} \cdot \frac{y^2+1}{x} = x^{y^2+1} \cdot \frac{y^2+1}{x} = (y^2+1)x^{y^2}。
公式：$$\frac{\partial}{\partial x} x^{a} = a x^{a-1}$$
提示：注意指数函数求导时底数不变
步骤 4/4
目标：求关于 y 的偏导数
将 x 视为常数，对 y 求导：f_y = e^{(y^2+1)\ln x} \cdot (2y\ln x) = x^{y^2+1} \cdot 2y\ln x。
公式：$$\frac{\partial}{\partial y} x^{y^2+1} = x^{y^2+1} \cdot 2y \ln x$$
提示：注意指数函数求导时底数x视为常数
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