2019年高数A(二)期末第五-1题
📝 题目
1． $\displaystyle{\iint_{D} x y^{2} d x d y}$ ，其中 $D$ 是由 $y=x^{2}, y=x$ 所围成的区域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：确定积分区域与积分次序（第1题）
区域D由曲线y=x²与直线y=x围成。联立y=x²与y=x解得交点(0,0)和(1,1)。在x∈[0,1]上，下方曲线为y=x²，上方曲线为y=x，因此积分区域可表示为D={(x,y)|0≤x≤1, x²≤y≤x}。
提示：注意确定上下曲线和积分限
步骤 2/2
目标：计算第1题的二重积分
将二重积分化为累次积分：∬_D xy² dxdy = ∫_{x=0}^{1} ∫_{y=x²}^{x} xy² dy dx。先对y积分：∫_{y=x²}^{x} xy² dy = x·[y³/3]_{x²}^{x} = x·(x³/3 - x⁶/3) = (x⁴ - x⁷)/3。再对x积分：∫_{0}^{1} (x⁴ - x⁷)/3 dx = (1/3)[x⁵/5 - x⁸/8]_{0}^{1} = (1/3)(1/5 - 1/8) = (1/3)(3/40) = 1/40。
公式：$$\iint_D f(x,y)\,dxdy = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$$
提示：注意积分上下限对应曲线交点
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