2019年高数A(二)期末第五-2题
📝 题目
2． $\displaystyle{\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} d x d y}$ ，其中 $D$ 是以原点为圆心， $1$ 为半径的圆形区域．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定积分区域与坐标变换
区域D是以原点为圆心、半径为1的圆，采用极坐标变换：x = r cosθ, y = r sinθ，则dxdy = r dr dθ，积分区域变为0 ≤ r ≤ 1，0 ≤ θ ≤ 2π。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \iint_{D'} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, drd\theta$$
提示：注意极坐标变换中面积元为r dr dθ
步骤 2/4
目标：写出极坐标下的二重积分
被积函数e^{-x^2-y^2} = e^{-r^2}，因此积分化为：∫_{θ=0}^{2π} ∫_{r=0}^{1} e^{-r^2} r dr dθ。
公式：$$\iint_D f(x,y) dxdy = \int_{\theta=\alpha}^{\beta} \int_{r=r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r dr d\theta$$
提示：注意极坐标变换中多一个r因子
步骤 3/4
目标：分离变量并计算内层积分
先对r积分：∫_{0}^{1} e^{-r^2} r dr，令u = r^2，则du = 2r dr，r dr = du/2，积分限u从0到1，得∫_{0}^{1} e^{-u} (1/2) du = (1/2)(-e^{-u})|_{0}^{1} = (1/2)(1 - e^{-1})。
公式：$$\int_{0}^{1} e^{-r^2} r dr = \frac{1}{2}(1 - e^{-1})$$
提示：注意换元时积分限的变化
步骤 4/4
目标：计算外层积分得到结果
外层对θ积分：∫_{0}^{2π} dθ = 2π，因此原积分 = 2π × (1/2)(1 - e^{-1}) = π(1 - e^{-1})。
公式：$$\iint_D e^{-x^2-y^2}dxdy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 e^{-r^2} r dr$$
提示：注意极坐标变换中r的积分因子
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