2019年高数A(二)期末第六-2题
📝 题目
2．求二元函数 $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y$ 的极值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求一阶偏导数
对 $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$ 分别求关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数：
$f_x = 3x^2 - 3y$，$f_y = 3y^2 - 3x$。
公式：$$f_x = 3x^2 - 3y, \quad f_y = 3y^2 - 3x$$
提示：注意对x求偏导时y视为常数
步骤 2/5
目标：求驻点
令 $f_x=0$ 且 $f_y=0$，得方程组：
$3x^2 - 3y = 0 \Rightarrow y = x^2$
$3y^2 - 3x = 0 \Rightarrow x = y^2$
代入得 $x = (x^2)^2 = x^4$，即 $x^4 - x = 0$，解得 $x=0$ 或 $x=1$。
对应 $y=0$ 或 $y=1$。驻点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
公式：$$f_x=0, f_y=0$$
提示：注意代入消元时不要遗漏解
步骤 3/5
目标：求二阶偏导数
计算二阶偏导数：
$f_{xx} = 6x$，$f_{yy} = 6y$，$f_{xy} = -3$。
公式：$$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$$
提示：注意混合偏导数的计算顺序不影响结果
步骤 4/5
目标：判别极值
对于驻点 $(0,0)$：
$A = f_{xx}(0,0)=0$，$B = f_{xy}(0,0)=-3$，$C = f_{yy}(0,0)=0$。
判别式 $\Delta = AC - B^2 = 0 \times 0 - (-3)^2 = -9 < 0$，故 $(0,0)$ 不是极值点。
对于驻点 $(1,1)$：
$A = f_{xx}(1,1)=6$，$B = f_{xy}(1,1)=-3$，$C = f_{yy}(1,1)=6$。
判别式 $\Delta = 6 \times 6 - (-3)^2 = 36 - 9 = 27 > 0$，且 $A=6>0$，故 $(1,1)$ 是极小值点。
公式：$$\Delta = AC - B^2$$
提示：注意判别式小于0时不是极值点
步骤 5/5
目标：求极小值
将 $(1,1)$ 代入原函数：
$f(1,1) = 1^3 + 1^3 - 3 \times 1 \times 1 = 1+1-3 = -1$。
因此，函数有极小值 $-1$，在点 $(1,1)$ 处取得。
公式：$$f(1,1) = 1^3 + 1^3 - 3 \times 1 \times 1 = -1$$
提示：代入后仔细计算数值，避免符号错误
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