2020年高数A(二)期末第一-1题
📝 题目
1．反常积分 $\displaystyle{\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} d x}$ 收敛，则（ ）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：第一题解答
反常积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} d x$ 在 $x=0$ 处可能发散。计算积分：
$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} d x = \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} x^{-p} d x = \lim_{a \to 0^+} \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{a}^{1}$$
当 $p \neq 1$ 时，结果为 $\frac{1}{1-p} - \lim_{a \to 0^+} \frac{a^{1-p}}{1-p}$。若 $p < 1$，极限存在且收敛；若 $p \geq 1$，积分发散。因此，积分收敛的条件是 $p < 1$。
选项分析：
A：错误，$p \geq 1$ 时积分发散。
B：错误，$p > 1$ 时积分发散。
C：错误，$p \leq 1$ 包含 $p=1$ 时积分发散。
D：正确，$p < 1$ 时积分收敛。
公式：$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{p}} dx = \lim_{a \to 0^+} \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{a}^{1}$$
提示：注意p=1时发散，不要遗漏
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