2020年高数A(二)期末第一-3题
📝 题目
3．设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 出存在偏导数，则 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=(\quad)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回顾偏导数定义
函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处关于 $x$ 的偏导数定义为 $f'_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$。
公式：$$f'_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$
提示：注意是对x求偏导，y固定不变
步骤 2/5
目标：分析选项A
选项A：$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0-2\Delta x, y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$。令 $h=-2\Delta x$，则 $\Delta x=-\frac{h}{2}$，极限变为 $\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{-h/2}=-2f'_x(x_0,y_0)$，不等于 $f'_x(x_0,y_0)$。
公式：$$f'_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$
提示：注意变量替换后分母系数
步骤 3/5
目标：分析选项B
选项B：$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0,y_0)-f(x_0-\Delta x, y_0)}{\Delta x}$。令 $h=-\Delta x$，则 $\Delta x=-h$，极限变为 $\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0,y_0)-f(x_0+h,y_0)}{-h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}=f'_x(x_0,y_0)$。因此选项B正确。
公式：$$f'_x(x_0,y_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$
提示：注意变量替换时符号变化
步骤 4/5
目标：分析选项C
选项C：$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$。这里 $\Delta y$ 未说明与 $\Delta x$ 的关系，且分母只含 $\Delta x$，分子中 $y$ 也变化，不符合偏导数定义中固定 $y$ 的要求，通常不等于 $f'_x(x_0,y_0)$。
提示：注意偏导定义中固定y不变
步骤 5/5
目标：分析选项D
选项D：$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0+\Delta y)}{\Delta x}$。此极限是函数 $g(x)=f(x, y_0+\Delta y)$ 在 $x_0$ 处的导数，但 $\Delta y$ 未趋于0，因此一般不等于 $f'_x(x_0,y_0)$。
提示：偏导定义中Δy必须为0
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