2020年高数A(二)期末第一-5题
📝 题目
5．微分方程 $y^{\prime}=-y+x \mathrm{e}^{-x}$ 是（ ）方程
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别方程形式
将方程写成标准形式：$y' + P(x)y = Q(x)$。原方程为 $y' = -y + x e^{-x}$，移项得 $y' + y = x e^{-x}$。
公式：$$y' + P(x)y = Q(x)$$
提示：注意移项时符号变化
步骤 2/4
目标：判断线性与齐次性
方程中 $y'$ 和 $y$ 都是一次项，且 $Q(x) = x e^{-x} \neq 0$，因此是一阶非齐次线性微分方程。
公式：$$y' + P(x)y = Q(x)$$
提示：注意Q(x)是否为0判断齐次性
步骤 3/4
目标：排除其他选项
A：方程不能写成 $g(y)dy = f(x)dx$ 的形式，不是可分离变量方程；B：方程不是齐次函数形式；D：因为 $Q(x) \neq 0$，不是齐次线性方程。
提示：注意区分齐次方程与齐次线性方程
步骤 4/4
目标：得出结论
因此该方程是一阶非齐次线性微分方程，正确选项为 C。
公式：$$y' + P(x)y = Q(x)$$
提示：注意区分齐次与非齐次
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