2020年高数A(二)期末第一-6题
📝 题目
6．若级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}}$ 收敛，那么以下级数发散的是（ ）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项A
若∑a_n收敛，则∑2a_n = 2∑a_n也收敛，故A收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} 2a_n = 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$
提示：收敛级数乘以常数仍收敛
步骤 2/5
目标：分析选项B
∑(a_n+1) = ∑a_n + ∑1，而∑1发散，收敛级数与发散级数的和发散，故B发散。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n + 1) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n + \sum_{n=1}^{\infty} 1$$
提示：注意收敛级数与发散级数之和必发散
步骤 3/5
目标：分析选项C
∑a_{n+1}只是∑a_n去掉第一项，收敛性不变，故C收敛。
提示：注意级数去掉有限项不改变收敛性
步骤 4/5
目标：分析选项D
∑(a_{2n-1}+a_{2n})是原级数按顺序两两加和，原级数收敛时，该级数也收敛，故D收敛。
提示：注意收敛级数加括号后仍收敛
步骤 5/5
目标：得出结论
只有选项B发散，因此答案为B。
提示：注意收敛级数加括号仍收敛，但去括号不一定。
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