2020年高数A(二)期末第一-7题
📝 题目
7．下列数项级数发散的是（ ）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项A
对于级数 ∑ 2^n / n!，使用比值判别法：lim (a_{n+1}/a_n) = lim [2^(n+1)/(n+1)!] / [2^n/n!] = lim 2/(n+1) = 0 < 1，因此级数收敛。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = 0 < 1$$
提示：注意比值判别法极限小于1则收敛
步骤 2/5
目标：分析选项B
对于级数 ∑ [1 - cos(1/n)]，利用等价无穷小：1 - cos(1/n) ~ 1/(2n^2) (当n→∞)，而∑ 1/(2n^2)是收敛的p级数(p=2>1)，因此原级数收敛。
公式：$$1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \quad (x \to 0)$$
提示：注意等价无穷小替换后判断p级数收敛性
步骤 3/5
目标：分析选项C
对于级数 ∑ ln(1+1/n)，利用等价无穷小：ln(1+1/n) ~ 1/n (当n→∞)，而∑ 1/n是发散的调和级数，因此原级数发散。
公式：$$\ln(1+\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n} \quad (n \to \infty)$$
提示：注意等价无穷小仅用于正项级数
步骤 4/5
目标：分析选项D
对于级数 ∑ 1/e^n = ∑ (1/e)^n，这是公比 r = 1/e < 1 的等比级数，因此收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r} \quad (|r|<1)$$
提示：注意公比小于1时收敛，大于等于1时发散
步骤 5/5
目标：得出结论
只有选项C的级数发散，故答案为C。
提示：注意比较审敛法的适用条件
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