三角形

A． $\triangle P B C$ 为直角三角形，外心为 $P C$ 的中点，取 $P C$ 的中点为 $M$ ．由于 $|A B|=|A C|= |A P|=3$ ，因此 $A$ 点在平面 $P B C$ 的射影就是点 $M$ ，则 $A M$ 就是高 $\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{2}$ ，所以体积为 $\sqrt{11}$ ．

$\sqrt{11}$ ． 易知 $\triangle P B C$ 是直角三角形，取斜边 $P C$ 的中点为 $O$ ，因为 $|A P|=|A B|=|A C|$ ，所以点 $A$ 在平面 $P B C$ 上的射影为直角 $\triangle P B C$ 的外心 $O$ ．连接 $A O$ ，即有 $A O \perp$ 平面 $P B C$ ． 在 Rt $\triangle A O P$ 中， $$ |A O|=\sqrt{|A P|^{2}-|P O|^{2}}=\sqrt{3^{2}-\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{11}}{2}, $$ 则 $$ V_{P-A B C}=V_{A-P B C}=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle P B C} \cdot|A O|=\frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{11}}{2}=\sqrt{11} . $$

25 ． 作出可行域，如图 J1 所示，则 $\displaystyle S_{\square A B C D}=4 S_{\triangle A B O}=4 \times \frac{25}{4}=25$ ． \begin{figure}

$\displaystyle \frac{a b}{a+b n}$ ． 设 $\left|P_{n} Q_{n}\right|=x_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，则 $x_{0}=|C D|=b$ ，且 $\displaystyle \frac{1}{x_{n}}=\frac{1}{x_{n-1}}+\frac{1}{a}$ ．于是可得 $\displaystyle \frac{1}{x_{n}}=\frac{n}{a}+\frac{1}{x_{0}}$ ，即 $\displaystyle x_{n}=\frac{a b}{a+b n}$ ．

$\displaystyle r=\frac{6}{11}$ ． 设四个球的球心分别为 $A, B, C, D$ ，则 $|A B|=|A C|=|B D|=|B C|=5,|A B|=6$ ， $|C D|=4$ ．设 $A B$ 的中点为 $E, C D$ 的中点为 $F$ ，连接 $E F$ ，在 $\triangle A B F$ 中求得 $|B F|=\sqrt{21}$ ，在 $\triangle E B F$ 中求得 $|E F|=2 \sqrt{3}$ ．由对称性可得第五个球的球心 $O$ 在 $E F$ 上，连接 $O A, O D$ ，设第五个球的半径为 $r$ ，则 $|O A|=r+3,|O D|=r+2$ ，于是 $|O E|=\sqrt{(r+3)^{2}-3^{2}}=\sqrt{r^{2}+6 r}, \quad|O F|=\sqrt{(r+2)^{2}-2^{2}}=\sqrt{r^{2}+4 r}$.又 $|O E|+|O F|=|E F|, \sqrt{r^{2}+6 r}+\sqrt{r^{2}+4 r}=2 \sqrt{3}$ ，解得 $\displaystyle r=\frac{6}{11}$ 或 $r=-6$（舍去）．

A． 由 $\displaystyle S_{\triangle P A B}=\frac{1}{2}|x| \cdot 5 \geqslant 4$ ，即有 $|x|$ 的最小值为 $\displaystyle \frac{8}{5}$ ，而若使得 $3 y^{2}+2 x-3 y-a=0$ 有解，则 $$ \begin{aligned} \Delta=9-4 \cdot 3 \cdot(2 x-a) \geqslant 0 & \Rightarrow x \leqslant \frac{4 a+3}{8}=-\frac{8}{5} \\ & \Rightarrow a=-3.95 . \end{aligned} $$

C． 易知 $A=90^{\circ}, B C=\sqrt{52} \approx 7.2$ ．

$\displaystyle r=\frac{1}{3}$ ． 设所求小球的半径为 $r$ ，小球的球心是 $O$ ，三个球的球心构成正 $\triangle A B C$ 的中心是 $M$ ，则 $\triangle O M A$ 是直角三角形，$\displaystyle |O A|=1+r,|O M|=1-r,|A M|=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，所以 $\displaystyle (1+r)^{2}=(1-r)^{2} +\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)^{2}$ ，解得 $\displaystyle r=\frac{1}{3}$ ．

A． 由 $a^{\mathrm{e}}+b^{\mathrm{e}}=c^{\mathrm{e}}$ 得 $a^{\mathrm{e}}<c^{\mathrm{e}} \Rightarrow a<c, b^{\mathrm{e}}<c^{\mathrm{e}} \Rightarrow b<c$ ，从而 $c$ 边是 $\triangle A B C$ 中的最大边，$C$ 角是最大角．又 $c^{\mathrm{e}-2} a^{2}+c^{\mathrm{e}-2} b^{2}>a^{\mathrm{e}-2} a^{2}+b^{\mathrm{e}-2} b^{2}=a^{\mathrm{e}}+b^{\mathrm{e}}=c^{\mathrm{e}} \Rightarrow a^{2}+b^{2}>c^{2}$ ，可知 $C$ 角是锐角，$\triangle A B C$ 是锐角三角形，故选 A ．

A． 由题意可证三棱雉 $S-A B C$ 为正三棱雉， $$ V_{S-A B C}=V_{A-S B C} \leqslant \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 1 \times 1 \times 1=\frac{1}{6}, $$ 当且仅当三棱雉边长两两互相垂直时取等号．

C． 设球心为 $O$ 的小球上一点 $P$ 在共点 $M$ 的三个面 $\alpha, \beta, \gamma$ 上的射影分别为 $A, B, C$ ，点 $O$在平面 $\gamma$ 上的射影为 $O_{1}, P Q \perp O O_{1}$ 于 $Q$ ．设 $|P A|=|P B|=3,|P C|=6$ ，如图 J1 所示．由题设知 $O_{1}, C, M$ 共线，$|C M|=3 \sqrt{2},\left|O_{1} M\right|=\sqrt{2} R$（ $R$ 为小球的半径），$\left|O_{1} C\right|=\sqrt{2}(R-3)$ ， $|O Q|=\left|\left|O O_{1}\right|-\left|O_{1} Q\right|\right|=|R-6|,|P Q|=\left|O_{1} C\right|=\sqrt{2}(R-3)$ ．在 Rt $\triangle O P Q$ 中，$|O P|^{2}= |O Q|^{2}+|P Q|^{2}$ ，即 $R^{2}=(R-6)^{2}+2(R-3)^{2}$ ，解得 $R=3$ 或 $R=9$ ． \begin{figure}

A． 可证 $\triangle B C D$ 为直角三角形且 $\angle B C D=90^{\circ}$ ，又 $|A B|=|A C|=|A D|=1$ ，故 $A$ 在面 $B C D$ 内的射影即为 $\triangle A B C$ 的外心，而 $\triangle B C D$ 为直角三角形，故其射影即为 $B D$ 的中点 $O$ ．在面 $B C D$ 内作 $D D^{\prime} / / B C, B D^{\prime} / / C D$ ，它们交于 $D^{\prime}$ ，则 $\left|D D^{\prime}\right|=|B C|=1$ ，且 $\left|A D^{\prime}\right|=|A C|=$ 1 ，故 $\triangle A D D^{\prime}$ 为正三角形，于是 $A D$ 与 $B C$ 所成的角即为 $A D$ 与 $D D^{\prime}$ 所成的角，等于 $60^{\circ}$ ．

（1）如图 J2 所示，图中的三角形个数为 $\mathrm{C}_{m+2}^{2}$ ． \begin{figure} \begin{figure} （2）如图 J3 所示，作出一条线段 $B E_{i}$ 后，$B E_{i}$ 的上方（含 $A$ 部分）增加的三角形个数为 $\mathrm{C}_{m+2}^{2}, B E_{i}$ 的下方（含 C 部分）增加的三角形个数为 $m+1$ ．因此，图 J3 中共有三角形 $\mathrm{C}_{m+2}^{2}+ \mathrm{C}_{m+2}^{2}+m+1$ 个． （3）如图 J4 所示，当 $B E_{1}, B E_{2}, \cdots, B E_{n}$ 全部作出后，观察 $\triangle B E_{i} E_{j}(i, j=1,2, \cdots, n, i \neq j)$ ，增加的三角形个数为 $m+1$ ，因此，图 J4 中三角形的总个数为 $$ \begin{aligned} \mathrm{C}_{m+2}^{2} & +n\left[\mathrm{C}_{m+2}^{2}+(m+1)\right]+\mathrm{C}_{n}^{2}(m+1) \\ = & (n+1) \mathrm{C}_{m+2}^{2}+n(m+1)+(m+1) \mathrm{C}_{n}^{2} \\ = & (n+1) \frac{(m+2)(m+1)}{2}+n(m+1) \\ & +(m+1) \frac{n(n-1)}{2} \\ = & \frac{1}{2}(m+1)(n+1)(m+n+2) \end{aligned} $$ \begin{figure} \title{

D． 如图 J1 所示．$\displaystyle b+c-a=2|A D|=r \cot \frac{A}{2}$ ，同理 $\displaystyle b+a-c=2|A D|=r \cot \frac{C}{2}, a+c-$ $\displaystyle b=2|A D|=r \cot \frac{B}{2}$ ． \begin{figure}

C． 考虑正十五边形中钝角的个数，可知其中一个角为钝角等价于该角对面的弦的另一侧有大于或等于 7 个点，假设正十五边形的顶点为 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{15}$（图 J4）．先考虑以 $A_{1}$ 为顶点的针角的个数。如果 $A_{1} A_{2}$ 为角的一条边，那么剩下一条边的顶点，只有可能为 $A_{10} \sim A_{15}$ 中任一个；如果 $A_{1} A_{3}$ 为角的一条边，那么剩下一条边的顶点，只有可能为 $A_{11} \sim A_{15}$ 中任一个 $\cdots \cdots$ 于是以 $A_{1}$ 为顶点的钝角的个数为 $1+2+3+4+5+6=21$ ． 再注意到，每一个钝角唯一确定一个钝角三角形，每一个钝 \begin{figure} 角三角形唯一确定一个钝角，于是钝角的总数量和钝角三角形的总数量是相等的．于是钝角三角形一共有 $21 \times 15=315$ 个。

A． 由题意可得 $|B D|=\left|A^{\prime} C\right|=\sqrt{2},|B C|=\sqrt{3}, \triangle D B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B C$ 都是以 $B C$ 为斜边的直角三角形，由此可得 $B C$ 的中点到四个点 $A^{\prime}, B, C, D$ 的距离相等，即该三棱雉的外接球的直径为 $\sqrt{3}$ ，所以该外接球的表面积 $\displaystyle S=4 \pi \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=3 \pi$ ．

$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}$ ． 因为 $A D \perp$ 平面 $A B C$ ，所以 $D A \perp A B, A D \perp B C$ ．又因为 $A E \perp D B,|A D|=|A B|=2$ ，所以 $|D E|=\sqrt{2}$ ．由 $B C \perp A C, A C \cap A D=A$ ，得 $B C \perp$ 平面 $A C D$ ，所以平面 $B C D \perp$ 平面 $A C D$ ．因为 $A F \perp D C$ ，平面 $B C D \cap$ 平面 $A C D=C D$ ，所以 $A F \perp$ 平面 $B C D$ ，则 $A F \perp E F, B D \perp A F$ ，故 $B D \perp$ 平面 $A E F$ ． 由 $|A F|^{2}+|E F|^{2}=|A E|^{2}=2 \geqslant 2|A F| \cdot|E F|$ ，得 $|A F| \cdot|E F| \leqslant 1$ ，所以 $\displaystyle S_{\triangle A E F} \leqslant \frac{1}{2} \times 1= \frac{1}{2}$ ，故三棱雉 $D-A E F$ 体积的最大值为 $\displaystyle \frac{1}{3} \times \sqrt{2} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}$ ．

$\sqrt{23}$ ． 在 $\triangle A B C$ 中， $\cot A \cot B+\cot B \cot C+\cot C \cot A=1$ ，所以 $\displaystyle \cot A=\frac{1-\cot B \cot C}{\cot B+\cot C}$ ． 如图 J1 所示， $\displaystyle \cot B=\frac{x}{h}, \cot C=\frac{a-x}{h}, \cot A= \frac{1-\cot B \cot C}{\cot B+\cot C}=\frac{h}{a}-\frac{x(a-x)}{a h}$ ，则 \begin{figure} $$ \begin{aligned} P & =2 \cot A+3 \cot B+4 \cot C \\ & =\frac{2 h}{a}-\frac{2 x(a-x)}{a h}+\frac{3 x}{h}+\frac{4(a-x)}{h} \\ & =\frac{2 h}{a}+\frac{4 a}{h}-\frac{3 x}{h}+\frac{2 x^{2}}{a h} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} & =\frac{2}{a h}\left(x-\frac{3 a}{4}\right)^{2}+\frac{2 h}{a}+\frac{23 a}{8 h} \\ & \geqslant \frac{2 h}{a}+\frac{23 a}{8 h} \geqslant 2 \sqrt{\frac{2 h}{a} \cdot \frac{23 a}{8 h}}=\sqrt{23} . \end{aligned} $$

$25 \pi$ ． \begin{figure} 如图 J1 所示，取 $B C$ 的中点 $D$ ，连接 $A D, P D$ ．由 $\triangle A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形，$|P B|=|P C|=\sqrt{5}$ ，知 $A D \perp B C, P D \perp B C,|P D|=\sqrt{2}$ ，所以 $\angle P D A$ 为二面角 $P-B C-A$ 的平面角， $\angle P D A=45^{\circ}, B C \perp$ 面 $P A D$ ，面 $P A D \perp$ 面 $A B C$ ． 作 $P O_{1} \perp A D$ 于 $O_{1}$ ，则 $P O_{1} \perp$ 面 $A B C$ ，所以 $\left|P O_{1}\right|=\left|O_{1} D\right| =1,\left|O_{1} A\right|=2, O_{1}$ 为 $\triangle A B C$ 的外心，三棱雉 $P-A B C$ 为正三棱雉． 设三棱雉 $P-A B C$ 的外接球的球心为 $O$ ，半径为 $R$ ，则 $O$ 在直线 $P O_{1}$ 上，且 $\left|\left|P O_{1}\right|-|P O|\right|^{2}+\left|O_{1} A\right|^{2}=|O A|^{2}$ ，所以 $(R-1)^{2}+2^{2}=R^{2}$ ，解得 $\displaystyle R=\frac{5}{2}$ ．故三棱雉 $P-A B C$ 的外接球的表面积为 $4 \pi R^{2}=25 \pi$ ．