同余

7. 由 $1000^{4444}<4444^{4444}<10000^{4444}$ ，得 $3 \times 4444<\lg 4444^{4444}<4 \times 4444$ ，故 $$ a<9 \times(4444 \times 4+1)=159993 . $$ 情形 1 当 $a$ 的位数为 6 时，则 $b \leqslant 1+4+9 \times 4=41$ ． 情形 2 当 $a$ 的位数小于 6 时，则 $b \leqslant 5 \times 9=45$ ． 由情形1和情形2可知 $b \leqslant 45$ 。 情形 3 当 $b$ 的位数为 2 时，则 $c \leqslant 3+9=12$ ． 情形 4 当 $b$ 的位数为 1 时，则 $c \leqslant 9$ ． 由情形 3 和情形 4 可知 $c \leqslant 12$ 。 又 $4444 \equiv 7(\bmod 9), 7^{3} \equiv 1(\bmod 9)$ ，则 $4444^{4444} \equiv 7^{4444}=\left(7^{3}\right)^{1481} \times 7 \equiv 7(\bmod 9)$ ，而 $4444^{4444} \equiv a \equiv b \equiv c \equiv 7(\bmod 9)$ ，故 $c=7$ ． 17 ．因为 $a_{n+1}=a_{n}+a_{n}^{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，所以 $a_{n+1}=a_{n}\left(1+a_{n}\right)$ ，即 $\displaystyle \frac{1}{1+a_{n}}=\frac{a_{n}}{a_{n+1}}$ ，故 $$ S_{n}=\frac{1}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)}=\frac{a_{1}}{a_{2}} \cdot \frac{a_{2}}{a_{3}} \cdots \cdot \frac{a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{a_{1}}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n+1}} . $$ 又 $a_{n+1}=a_{n}+a_{n}^{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ ，所以 $\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n}\left(1+a_{n}\right)}=\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{1+a_{n}}$ ，故 $$ T_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+a_{k}}=\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{2}}-\frac{1}{a_{3}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}=1-\frac{1}{a_{n+1}} . $$ 于是 $S_{n}+T_{n}=1$ ．

由题意知 $m, m_{1}, m_{2}$ 这 3 个数的各位数字之和是相等的．同时，我们知道，一个数除以 3 的余数与这个数的各位数字之和除以 3 的余数相同，从而 $m=3 k+r, m_{1}=3 k_{1}+r$ ， $m_{2}=3 k_{2}+r$ ，于是 $m+m_{1}+m_{2}=3\left(k+k_{1}+k_{2}+r\right)$ ． 要使 $m+m_{1}+m_{2}=2021$ ，则 $3 \mid 2021$ ，这显然是不可能的．故有 $m+m_{1}+m_{2} \neq 2021$ ．

21 ． 由于 $$ 3^{2016}=9^{1008}=(10-1)^{1008}, $$ 因此 $$ 3^{2016} \equiv(-1)^{1008}+\mathrm{C}_{1008}^{1}(-1)^{1007} \cdot 10(\bmod 100) $$ 于是 $3^{2016} \equiv 21(\bmod 100)$ ．

22,78 ． 设两数为 $\overline{a b}=10 a+b, \overline{c d}=10 c+d$ ，其中 $a, c \in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}, b, d \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ ，则 $\overline{a b}-\overline{c d}=10(a-c)+(b-d)$ ，再进行讨论即可．

C． 根据题意，当 $x=16$ 时，$y=1$ ，所以选项 A，B 不正确．当 $x=17$ 时，$y=2$ ，所以选项 D 不正确，故选 C。