多项式

方程 $x^{2}+a x+b=0$ 的两根为 $$ x_{1}=\frac{-a+\sqrt{a^{2}-4 b}}{2}, \quad x_{2}=\frac{-a-\sqrt{a^{2}-4 b}}{2} $$ 因为 $x_{1} \neq x_{2}$ ，所以 $a^{2}-4 b \neq 0$ ，故 $$ \begin{aligned} & x_{1}^{2}-\frac{1}{2}=\frac{\left(a^{2}-2 b-1\right)-a \sqrt{a^{2}-4 b}}{2} \\ & x_{2}^{2}-\frac{1}{2}=\frac{\left(a^{2}-2 b-1\right)+a \sqrt{a^{2}-4 b}}{2} \end{aligned} $$ 由于 $\displaystyle x_{1}^{2}-\frac{1}{2}, x_{2}^{2}-\frac{1}{2}$ 为多项式 $Q(x)$ 的根，则其满足方程 $\displaystyle x^{2}+\left(a^{2}-\frac{1}{2}\right) x+b^{2}-\frac{1}{2}=0$ ，即 $$ \begin{aligned} & \left(4 a^{4}-12 a^{2} b+8 b^{2}-5 a^{2}+6 b\right)-\left(4 a^{3}-4 a b-3 a\right) \sqrt{a^{2}-4 b}=0 \\ & \left(4 a^{4}-12 a^{2} b+8 b^{2}-5 a^{2}+6 b\right)+\left(4 a^{3}-4 a b-3 a\right) \sqrt{a^{2}-4 b}=0 \end{aligned} $$ 故 $$ \begin{align*} & 4 a^{4}-12 a^{2} b+8 b^{2}-5 a^{2}+6 b=0 \tag{1}\\ & \left(4 a^{3}-4 a b-3 a\right) \sqrt{a^{2}-4 b}=0 \tag{2} \end{align*} $$ 由 $a^{2}-4 b \neq 0$ ，知方程（2）变形为 $a\left(4 a^{2}-4 b-3\right)=0$ ． 若 $a=0$ ，则方程（1）为 $8 b^{2}+6 b=2 b(4 b+3)=0$ ． 因为 $a^{2}-4 b \neq 0 \Rightarrow b \neq 0$ ，所以 $\displaystyle b=-\frac{3}{4}$ ． 若 $a \neq 0$ ，则 $\displaystyle 4 a^{2}-4 b-3=0 \Rightarrow b=a^{2}-\frac{3}{4}$ ．将该式代人方程（1）得 $-2 a^{2}=0 \Rightarrow a=0$ ，矛盾． 因此 $\displaystyle a=0, b=-\frac{3}{4}$ ．

原方程变形为 $$ \begin{equation*} (x-2)(x-4) P(x)=x(x+2) P(x-2) \tag{1} \end{equation*} $$ 当 $x=0,-2,4$ 时，分别有 $P(0)=P(-2)=P(2)=0$ ．故 $$ \begin{equation*} P(x)=x(x-2)(x+2) Q(x), \tag{2} \end{equation*} $$ 其中 $Q(x)$ 为实系数多项式． 由式（2）知 式（1）$\Leftrightarrow(x-2)^{2}(x-4)(x+2) x Q(x)=x(x+2)(x-2) x(x-4) Q(x-2)$ $$ \begin{aligned} & \Leftrightarrow \quad(x-2)(x-4)(x+2) x[(x-2) Q(x)-x Q(x-2)]=0 \\ & \Leftrightarrow \quad[(x-2) Q(x)-x Q(x-2)]=0 \end{aligned} $$ 令 $x=0$ ，则 $Q(0)=0$ ，于是 $Q(x)=x R(x)$ ，其中 $R(x)$ 为实系数多项式，故有 $$ \begin{aligned} (x-2) x R(x)-x(x-2) R(x-2)=0 & \Leftrightarrow(x-2) x[R(x)-R(x-2)]=0 \\ & \Leftrightarrow R(x)=R(x-2) \end{aligned} $$ 易得 $R(x)$ 为以 2 为周期的周期函数．又由于 $R(x)$ 为实系数多项式，故有 $R(x)=c(c$ 为任意常数）为常数函数． 故有 $$ \begin{aligned} P(x) & =x(x-2)(x+2) Q(x) \\ & =x^{2}(x-2)(x+2) R(x) \\ & =c x^{2}\left(x^{2}-4\right) \end{aligned} $$ 其中 $c$ 为任意常数． \title{

$\displaystyle 2^{\frac{6055}{2}}$ ． 由题意可知 $S(x)=\mathrm{C}_{2019}^{1} \cdot x \cdot(-\sqrt{2})^{2018}+\mathrm{C}_{2019}^{3} \cdot x^{3} \cdot(-\sqrt{2})^{2016}+\cdots+\mathrm{C}_{2019}^{2019} \cdot x^{2019} \cdot(-\sqrt{2})^{0}$,则 $\displaystyle S(\sqrt{2})=(\sqrt{2})^{2019}\left(\mathrm{C}_{2019}^{1}+\mathrm{C}_{2019}^{3}+\cdots+\mathrm{C}_{2019}^{2019}\right)=2^{\frac{6055}{2}}$ 。

1011. 令 $x=1$ ，可得 $a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{2020}=1$ ．对已知等式两边求导，可得 $$ a_{1}+2 a_{2} x+3 a_{3} x^{2}+\cdots+2020 a_{2020} x^{2019}=1010\left(x^{2}-x+1\right)^{1009}(2 x-1) $$ 令 $x=1$ ，得 $a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\cdots+2020 a_{2020}=1010$ ，所以 $a_{0}+2 a_{1}+3 a_{2}+\cdots+2021 a_{2020} =1011$ ．

D． $$ (1+x)^{2018}=\mathrm{C}_{2018}^{0}+\mathrm{C}_{2018}^{1} x+\mathrm{C}_{2018}^{2} x^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{2018}^{2018} x^{2018} $$ 两边求导，令 $x=1$ ，再两边乘以 2 ，得到 $$ 2 C_{2018}^{1}+4 C_{2018}^{2}+\cdots+4036 C_{2018}^{2018}=2018 \cdot 2^{2018} $$ 减去 $\mathrm{C}_{2018}^{1}+\mathrm{C}_{2018}^{2}+\cdots+\mathrm{C}_{2018}^{2018}=2^{2018}-1$ ，得到 $$ \mathrm{C}_{2018}^{1}+3 \mathrm{C}_{2018}^{2}+\cdots+4035 \mathrm{C}_{2018}^{2018}=2017 \cdot 2^{2018}+1 . $$

C． 设 $\displaystyle \omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$ ． 令 $x=1$ ，则 $3^{10}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{20}$ ． 令 $x=\omega$ ，则 $0=a_{0}+a_{1} \omega+a_{2} \omega^{2}+\cdots+a_{20} \omega^{2}$ ． 令 $x=\omega^{2}$ ，则 $0=a_{0}+a_{1} \omega^{2}+a_{2} \omega+\cdots+a_{20} \omega$ ． 三式相加，得 $\sum_{k=0}^{6} a_{3 k}=3^{9}$ ．

A． $x^{n}$ 的系数为 $$ \begin{aligned} C_{2 n}^{n}+C_{2 n-1}^{n-1}+C_{2 n-2}^{n-2}+\cdots+C_{n}^{0} & =C_{2 n}^{n}+C_{2 n-1}^{n}+C_{2 n-2}^{n}+\cdots+C_{n}^{n} \\ & =C_{n+1}^{n+1}+C_{n+1}^{n}+C_{n+2}^{n}+\cdots+C_{2 n}^{n} \\ & =C_{n+2}^{n+1}+C_{n+2}^{n}+\cdots+C_{2 n}^{n} \\ & =C_{n+3}^{n+1}+C_{n+3}^{n}+\cdots+C_{2 n}^{n}=C_{2 n+1}^{n+1} \\ & =\frac{(2 n+1)!}{(n+1)!n!} \end{aligned} $$

816 ． 一方面， $$ \begin{aligned} y\left(1-x+x^{2}-\cdots+x^{16}-x^{17}\right) & =(1+x)\left(1-x+x^{2}-\cdots+x^{16}-x^{17}\right) \\ & =1-x^{18}=1-(y-1)^{18} \end{aligned} $$ 另一方面， $$ \begin{aligned} y\left(1-x+x^{2}-\cdots+x^{16}-x^{17}\right) & =y\left(a_{0}+a_{1} y+\cdots+a_{16} y^{16}+a_{17} y^{17}\right) \\ & =a_{0} y+a_{1} y^{2}+\cdots+a_{16} y^{17}+a_{17} y^{18} \end{aligned} $$ 故 $a_{2}=816$ ．