第1题
若对任意 $x \in A$ ，均有 $\displaystyle \frac{1}{x} \in A$ ，就称 $A$ 是＂和谐＂集合，则在集合 $\displaystyle P= \left\{-\frac{1}{2},-1,-2,0,1,2,3, \frac{1}{3}, 4,5\right\}$ 的所有非空子集中，＂和谐＂集合有 $\_\_\_\_$个。
✅ 有答案
15 ． 显然 $\displaystyle \{-1\},\{1\},\left\{-\frac{1}{2},-2\right\},\left\{3, \frac{1}{3}\right\}$ 这四个集合满足要求，则这四个集合分别组合在一起也都满足要求，所以＂和谐＂集合有 $2^{4}-1=15$ 个．
第1题
设 $n$ 为正整数， $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 为组合数，则 $\mathrm{C}_{2020}^{0}+3 \mathrm{C}_{2020}^{1}+5 \mathrm{C}_{2020}^{2}+\cdots+ 4037 \mathrm{C}_{2020}^{2018}+4039 \mathrm{C}_{2020}^{2019}+4041 \mathrm{C}_{2020}^{2020}=$ $\_\_\_\_$ ．
✅ 有答案
$2021 \times 2^{2020}$ ． 利用倒加法进行．
第8题
记集合 $\displaystyle T=\{0,1,2,3,4,5,6\}, M=\left\{\left.\frac{a_{1}}{7}+\frac{a_{2}}{7^{2}}+\frac{a_{3}}{7^{3}}+\frac{a_{4}}{7^{4}} \right\rvert\, a_{i} \in T, i=1,2,3,4\right\}$ ，将 $M$ 中的元素按从小到大的顺序排列，则第 2020 个数是 $\_\_\_\_$。
✅ 有答案
$\displaystyle \frac{1}{7}+\frac{0}{7^{2}}+\frac{1}{7^{3}}+\frac{5}{7^{4}}$ ． 设 $\displaystyle \frac{a_{1}}{7}+\frac{a_{2}}{7^{2}}+\frac{a_{3}}{7^{3}}+\frac{a_{4}}{7^{4}}=A$ ，则 $A$ 的值相当于七进制下的分位数．显然当 $a_{1}$ 值固定时，$A$的值会由 $a_{2}$ 逐渐变小，依此类推．由于 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为 7 的余数，故解决问题的方法浮现出来． 当 $a_{1}=0$ 时，可知 $A$ 的值共有 2187 个，故从 $a_{1}=1$ 开始排序，可得第 2020 个数是 $\displaystyle \frac{1}{7}+ \frac{0}{7^{2}}+\frac{1}{7^{3}}+\frac{5}{7^{4}}$.
第6题
在 $6 \times 6$ 的方阵中有 3 辆红色车，3辆黑色车，它们均不在同一行且不在同一列，共有 $\_\_\_\_$种停放方法。
✅ 有答案
14400 ． 先从 6 行中选取 3 行停放红色车，有 $\mathrm{C}_{6}^{3}$ 种选择．最上面一行的红色车位置有 6 种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有 5 种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有 4 种选择．三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置 有3！$=6$ 种选择，所以共有 $\mathrm{C}_{6}^{3} \times 6 \times 5 \times 4 \times 6=14400$ 种停放汽车的方法．
第7题
在国际象棋比赛中，胜一局得 2 分，平一局得 1 分，负一局得 0 分，在有 8 名选手参加的单循环比赛（每两人均赛一局）中，赛后发现各选手的得分各不相同。当按得分由高到低排列好名次后，第 4 名得 9 分，第 2 名得分是最后 4 名选手得分总和，则第 1 名和第 3 名的得分分别是（ ）．
A
14 与 11
B
14 与 10
C
13 与 11
D
13 与 10
✅ 有答案
D． 最后 4 名内部比赛的得分，全由他们自己获得，故最后 4 名最少可得 $6 \times 2=12$ 分，于是第 2 名至少得 12 分，进而可推出结论．
第2题
某学校校长和 2 名同学、 2 位老师排成一排照相． 2 名同学不能相邻， 2 位老师不能相邻，则不同的排法有 $\_\_\_\_$种。
✅ 有答案
48 ． $5!-2 \cdot 2 \cdot 4!+2 \cdot 2 \cdot 3!=48$ ．
第16题
用红、黄、蓝、白四种颜色对图 1 所示的区域染色，要求任何两个相邻区域（有公共边界）的颜色均不相同，则不同的染色方案的种数为（ ）。
A
120
B
144
C
96
D
108
✅ 有答案
A． 首先四种颜色的排列方法种数为 $\mathrm{A}_{4}^{4}$ ，因为 $A, D, E$ 两两相邻，所以对 $A, D, E$ 必须用不同的颜色。为明确起见，设 $A$ 染红色，$D$ 染蓝色，$E$ 染黄色。因为 $F$ 与 $D, E$ 相邻，所以 $F$ 只能染红色或白色。 （1）当 $F$ 染红色时，$B$ 可染蓝色或白色；若 $B$ 染蓝色，那么 $C$ 可染黄色或白色，有 2 种方案；若 $B$ 染白色，则 $C$ 只能染黄色，只有 1 种方案。 （2）当 $F$ 染白色时，因为 $B$ 与 $A, E, F$ 相邻，所以 $B$ 只能染蓝色，这样，$C$ 可染黄色或者红色，有 2 种方案。 综合（1）和（2）可知，共有 5 种方案。再结合对四种颜色的排列图案可知，所求的染色方 \section*{案种数为 120 ．}
第9题
$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{9}$ 是数字 $1 \sim 9$ 的一个排列，则 $a_{1} a_{2} a_{3}+a_{4} a_{5} a_{6}+a_{7} a_{8} a_{9}$ 的最小值为（）。
A
213
B
214
C
215
D
216
✅ 有答案
B． $$ a_{1} a_{2} a_{3}+a_{4} a_{5} a_{6}+a_{7} a_{8} a_{9} \geqslant 3 \sqrt[3]{9!}>213,9 \times 8 \times 1+7 \times 5 \times 2+6 \times 4 \times 3=214 $$
共 8 题