方程求解

18. 解法 1 由 $a+b+1=0$ ，得 $b=-a-1$ ，则 $(a-2)^{2}+(b-3)^{2}=(a-2)^{2}+(a+4)^{2}=2 a^{2}+4 a+20=2(a+1)^{2}+18$,即 $(a-2)^{2}+(b-3)^{2}$ 的最小值为 18 ． 解法 2 也可以利用点 $(2,3)$ 到直线 $x+y+1=0$ 的距离的平方来处理．

$\displaystyle \left\{-1,-\frac{1}{2}\right\}$ ． 设 $a=\sqrt{2 x^{2}+x+3}, b=\sqrt{x^{2}+x+1}, c=\sqrt{5 x^{2}+3 x+7}$ ，则 $a+b=c$ ．又 $$ 2 a^{2}+b^{2}=c^{2}=(a+b)^{2} \Rightarrow a^{2}=2 a b \quad(a>0) $$ 所以 $a=2 b$ ，即 $$ 2 x^{2}+x+3=4\left(x^{2}+x+1\right) \Rightarrow 2 x^{2}+3 x+1=0 $$ 解得 $x=-1$ 或 $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$ ．故方程的解集为 $\displaystyle \left\{-1,-\frac{1}{2}\right\}$ ．

易知，对于任意的 $a \in \mathbf{R}, x=0$ 均为原方程（1）的根． 若 $a=0$ ，则 $x=0$ 是原方程（1）的唯一实根。 若 $a \neq 0$ ，设 $f_{1}(x)=a x-1, f_{2}(x)=-a x+1, g(x)=a x^{2}+(1-2 a) x+1$ ，则 $f_{1}(x)$ 与 $f_{2}(x)$ 之一和 $g(x)$ 在 $x=0$ 处相切，即 $g^{\prime}(0)=f_{1}^{\prime}(0)$ 或 $g^{\prime}(0)=f_{2}^{\prime}(0)$ ，推出 $1-2 a= \pm a$ ，解得 $\displaystyle a=1, \frac{1}{3}$ ． （1）若 $\displaystyle a=\frac{1}{3}$ ，则原方程可化为 $x^{2}+x+3=|x-3|$ ，解得 $x=0,-2$ ，与题目要求矛盾． （2）若 $a=1$ ，则原方程可化为 $x^{2}-x+1=|x-1|$ ，解得 $x=0$ ，符合题意． 综上所述，$a=0,1$ ．

1. 由 $\displaystyle \left(x+\frac{2}{x}\right)^{2}=x^{2}+4+\frac{4}{x^{2}} \in \mathrm{~N}$ 且 $\displaystyle x^{2}+\frac{2}{x^{2}} \in \mathrm{~N}$ 可得 $\displaystyle x^{2}, \frac{2}{x^{2}} \in \mathrm{~N}$ ，故 $x^{2}=1$ ，又因为 $\displaystyle x+ \frac{2}{x} \in \mathrm{~N}$ ，进而可得 $x=1$ ．

4 ． 设方程的两个根为 $x_{1}, x_{2}$ ，因为两根为整数根，所以由韦达定理得 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=-p, \\ x_{1} x_{2}=q . \end{array}\right. $$ 再由 $p+q=218$ 可得 $$ x_{1}+x_{2}-x_{1} x_{2}=-q-p=-218 $$ 即 $$ 1+x_{1} x_{2}-x_{1}-x_{2}=219=3 \times 73 \Rightarrow\left(1-x_{1}\right)\left(1-x_{2}\right)=3 \times 73 . $$ 易知结论为 4 ．

$y=-4 x$ ． 由 $(3 x+y)^{5}+x^{5}+4 x+y=0$ 可得 $(3 x+y)^{5}+3 x+y=-x^{5}-x$ 。令 $f(x)=x^{5}+x$ ，易证 $f(x)=x^{5}+x, x \in \mathbf{R}$ 是增函数且是奇函数．故原方程可转化为 $f(3 x+y)=-f(x)= f(-x)$ 。因此得到结论 $3 x+y=-x$ ，化简得 $y=-4 x$ 。

1 ． 本题用转化加图解法可解．方程 $\log _{4}\left(2^{x}+3^{x}\right)=\log _{3}\left(4^{x}-2^{x}\right)$ 可转化为 $$ \left\{\begin{array} { l } { 2 ^ { x } + 3 ^ { x } = 4 ^ { y } , } \\ { 4 ^ { x } - 2 ^ { x } = 3 ^ { y } } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} 2^{x}+3^{x}=4^{y}, \\ 2^{x}+3^{y}=4^{x} \end{array} \Rightarrow x=y\right.\right. $$ 再由图解法可知原方程的实根的个数为 1 ．

4 ． 为了计数方便，设 $\sqrt[3]{15 x+1-x^{2}}=t$ ，则原方程可化为 $t+\sqrt[3]{28-t^{3}}=4$ ，即 $\left(28-t^{3}\right)= (4-t)^{3} \Rightarrow t=1,3 \Rightarrow x=1,2,13,15$ ．故有 4 根．

$\sqrt{3}$ ． 由 $z^{3} \in \mathbf{R}$ 可知 $z$ 的虚部与实部之比为 $\pm \sqrt{3}$ ．由 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(2 a+1 \pm \mathrm{i} \sqrt{7-4 a^{2}}\right.$ 可知 $a=-1$ ，则 $\displaystyle z=\frac{1}{2}(-1 \pm \sqrt{3} \mathrm{i})$ ，故 $|z-\bar{z}|=\sqrt{3}$ ．

11.

11. 因为 $\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=3$ ，所以 $\displaystyle x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=7, x-\frac{1}{x}=1$ 。而 $$ \left(x^{4}+\frac{1}{x^{4}}\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)=x^{5}-\frac{1}{x^{5}}-\left(x^{3}-\frac{1}{x^{3}}\right), $$ 又 $$ x^{3}-\frac{1}{x^{3}}=\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}}\right)=4, $$ 所以 $\displaystyle x^{5}-\frac{1}{x^{5}}=11$ ．

4. 由韦达定理可知 $\left\{\begin{array}{l}p+q=-6, \\ p q=5 a-a^{2}, \\ \Delta=36-4\left(5 a-a^{2}\right) .\end{array}\right.$ 又 $q+8 p=p^{3}$ ，则 $$ (p-1)(p-2)(p+3)=0 $$ 情形 1 当 $p=1$ 时，$q=-7$ ，则 $a^{2}-5 a-7=0$ ，且 $\Delta>0$ ，所以此时 $a$ 的值有两个． 情形 2 当 $p=2$ 时，$q=-8$ ，则 $a^{2}-5 a-16=0$ ，且 $\Delta>0$ ，所以此时 $a$ 的值有两个． 情形 3 当 $p=-3$ 时，$q=-3$ ，则 $a^{2}-5 a+9=0$ ，且 $\Delta<0$ ，易知此时 $a$ 无解． 综上所述，$a$ 可能的取值有 4 个．

B． 由题意，用 $x_{1}, x_{2}$ 表示它的二重根，则 $$ \left\{\begin{array} { l } { 2 ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) = a } \\ { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + 4 x _ { 1 } x _ { 2 } = - b , } \\ { 2 ( x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 1 } ) = - 1 2 , } \\ { ( x _ { 1 } x _ { 2 } ) ^ { 2 } = 3 6 } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} a^{2}=4 \\ (b+1)^{2}=144 \end{array}\right.\right. $$

C． 由题意， $$ \log _{\left(\log _{x} 4+2\right)} 4+2=0 \Rightarrow \log _{x} 4+2=\frac{1}{2} \Rightarrow \log _{x} 2=-\frac{3}{4} $$ $$ \Rightarrow \quad x=2^{-\frac{4}{3}} \in\left(\frac{1}{16}, \frac{1}{2}\right] . $$

D． 设 $\log _{3} 3 x=t$ ，则 $\displaystyle \log _{3 x} 3+\frac{1}{3} \log _{3} 3 x=-\frac{4}{3} \Rightarrow \frac{1}{t}+\frac{1}{3} t=-\frac{4}{3} \Rightarrow t=-1$ 或者 $\displaystyle -3 \Rightarrow a+b =\frac{1}{9}+\frac{1}{81}=\frac{10}{81}$ ．

$\displaystyle \frac{22}{45}$ ． 因为 $$ \begin{aligned} \frac{1}{(2 n+1) \sqrt{2 n-1}+(2 n-1) \sqrt{2 n+1}} & =\frac{1}{\sqrt{(2 n+1)(2 n-1)}(\sqrt{2 n+1}+\sqrt{2 n-1})} \\ & =\frac{\sqrt{2 n+1}-\sqrt{2 n-1}}{2 \sqrt{(2 n+1)(2 n-1)}} \\ & =\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{1}{2 n-1}}-\sqrt{\frac{1}{2 n+1}}\right) \end{aligned} $$ 故 $$ \begin{aligned} \text { 原式 } & =\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)+\left(\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{\sqrt{2023}}-\frac{1}{\sqrt{2025}}\right)\right] \\ & =\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2025}}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{45}\right)=\frac{22}{45} . \end{aligned} $$

0 ． $$ \begin{aligned} (a-m)(b-m)(c-m) & =a b c-m(a b+b c+a c)+m^{2}(a+b+c)-m^{3} \\ & =m a b c\left[\frac{1}{m}-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]+m^{2}[(a+b+c)-m] \end{aligned} $$ 令 $m=2020$ ，则 $$ \begin{aligned} (a & -2020)(b-2020)(c-2020) \\ & =2020 a b c\left[\frac{1}{2020}-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]+2020^{2}[(a+b+c)-2020] \\ & =0 \end{aligned} $$

A． 设 $2009=(2 a)^{2}+(3 a)^{2}+(6 a)^{2}+b^{2}$ ，则 $b^{2}=2009-49 a^{2}=49\left(41-a^{2}\right)$ ．又可设 $b=7 c$ ，则 $c^{2}=41-a^{2}$ ，解此不定方程可知 $\left\{\begin{array}{l}a=4, \\ c=5\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a=5, \\ c=4,\end{array}\right.$ 从而可知这四个数为 $8,12,24$ ， 35 或 $10,15,30,28$ ．

B． 对于 $x^{4}-a x^{3}-b x^{2}+12 x+36=0$ ，由韦达定理得 $$ \left\{\begin{array}{l} 2\left(x_{1}+x_{2}\right)=a \\ \left(x_{1} x_{2}\right)^{2}=36 \\ 4 x_{1} x_{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=-b \\ 2 x_{1}^{2} x_{2}+2 x_{2}^{2} x_{1}=2 x_{1} x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)=-12 \end{array}\right. $$ 故 $$ \begin{aligned} & 2 x_{1}^{2} x_{2}+2 x_{2}^{2} x_{1}=2 x_{1} x_{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)=-12 \Rightarrow\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}=1 \\ & a^{2}+(b+1)^{2}=4\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}+\left(4 x_{1} x_{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1\right)^{2}=4+\left(2 x_{1} x_{2}\right)^{2}=148 \end{aligned} $$

B． 设 $B\left(t, \mathrm{e}^{t}-1\right)$ ，则 $A B$ 的中点为 $\displaystyle P\left(\frac{t}{2}, \frac{\mathrm{e}^{t}}{2}\right)$ ，所以有 $\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{t}}{2}=\frac{2}{t}$ ，即 $\displaystyle \mathrm{e}^{t}=\frac{4}{t}$ ，故＂相关点＂的个数就是方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}=\frac{4}{x}$ 解的个数．因为 $y=\mathrm{e}^{x}$ 的图像在 $x$ 轴上方，且是 R 上的增函数，$\displaystyle y=\frac{4}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上是减函数，所以它们的图像只有一个交点，即 $n=1$ ．

$1+\sqrt{2}$ ． 设 $S=\sum_{n=1}^{99} \sqrt{10+\sqrt{n}}, T=\sum_{n=1}^{99} \sqrt{10-\sqrt{n}}$ ，故 $$ \sqrt{2} S=\sum \sqrt{20+2 \sqrt{n}}=\sum(\sqrt{10+\sqrt{n}}+\sqrt{10-\sqrt{n}})=S+T $$