概率

B．

9. 易知 $\left|a_{1}-a_{3}\right|+\left|a_{2}-a_{4}\right|$ 的最小值为 0 ，最大值为 6 ，则平均数为 $\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+6}{6}= \frac{7}{2}$ ，所以 $p+q=9$ ．

3. $$ \begin{aligned} & P(X=6)=\frac{1}{36}, \\ & P(X=5)=\frac{4}{36}-\frac{1}{36}=\frac{3}{36}, \\ & P(X=4)=\frac{9}{36}-\frac{4}{36}=\frac{5}{36}, \\ & P(X=3)=\frac{16}{36}-\frac{9}{36}=\frac{7}{36}, \\ & P(X=2)=\frac{25}{36}-\frac{16}{36}=\frac{9}{36}, \\ & P(X=1)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}, \end{aligned} $$ 故 $$ \begin{aligned} E(X) & =6 \times \frac{1}{36}+5 \times \frac{3}{36}+4 \times \frac{5}{36}+3 \times \frac{7}{36}+2 \times \frac{9}{36}+1 \times \frac{11}{36} \\ & =\frac{6+15+20+21+18+11}{36}=\frac{91}{36}=2 \frac{19}{36} \end{aligned} $$ 与 $E(X)$ 最接近的正整数是 3 ．

D． 由题意可知，方程的两根均为整数且两根一正一负．当一根为 -1 时，有 9 个满足题意的 ＂漂亮方程＂；当一根为 -2 时，有 3 个满足题意的＂漂亮方程＂．所以共有 12 个．

D． $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}(x-3)+\mathrm{e}^{x}=\mathrm{e}^{x}(x-2)$ ．设切点为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，则切线方程为 $$ y=\mathrm{e}^{x_{0}}\left(x_{0}-2\right)\left(x-x_{0}\right)+\mathrm{e}^{x}\left(x_{0}-3\right) $$ 所以 $$ a=\mathrm{e}^{x_{0}}\left(x_{0}-2\right)\left(-x_{0}\right)+\mathrm{e}^{x_{0}}\left(x_{0}-3\right)=\mathrm{e}^{x_{0}}\left(-x_{0}^{2}+3 x_{0}-3\right) . $$ 设 $g(x)=\mathrm{e}^{x}\left(-x^{2}+3 x-3\right)$ ，则 $$ g^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}\left(-x^{2}+3 x-3-2 x+3\right)=\mathrm{e}^{x}\left(-x^{2}+x\right)=\mathrm{e}^{x} x(1-x) $$ 故 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增；在 $(-\infty, 0),(1,+\infty)$ 上单调递减．又 $g(0)=\mathrm{e}^{0}(-3)=-3$ ， $g(1)=\mathrm{e}(-1)=-\mathrm{e}$ ，所以 $a \in(-3,-\mathrm{e})$ ．

（1）父亲的基因有 $\mathrm{AA}, \mathrm{Aa}, \mathrm{aa}$ 三种情况，母亲的基因也有 $\mathrm{AA}, \mathrm{Aa}, \mathrm{aa}$ 三种情况，故搭配起来有 9 种情况，列表如表 J1 所示。 \begin{table} \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline 父母 & AA，AA & AA，Aa & AA，aa & Aa，AA & $\mathrm{Aa}, \mathrm{Aa}$ & Aa，aa & aa，AA & aa，Aa & aa，aa \\ \hline AA & $u^{2}$ & uv & 0 & uv & $v^{2}$ & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline Aa & 0 & uv & uw & uv & $2 v^{2}$ & $v w$ & wu & wv & 0 \\ \hline aa & 0 & 0 & 0 & 0 & $v^{2}$ & $v w$ & 0 & wv & $w^{2}$ \\ \hline \end{tabular} \end{table} 把每行数据相加可得基因型为 AA，Aa，aa 的比例为 $$ \begin{aligned} \left(u^{2}\right. & \left.+2 u v+v^{2}\right):\left(2 u v+2 u w+2 v w+2 v^{2}\right):\left(v^{2}+w^{2}+2 v w\right) \\ & =(u+v)^{2}: 2(u+v)(v+w):(v+w)^{2} . \end{aligned} $$ 这就是子一代三种基因型的比例． （2）设 $u+v=x, v+w=y$ ，上式即 $x^{2}: 2 x y: y^{2}$ ，且 $x+y=1$ 。由于 $x^{2}+2 x y+y^{2}=1$ ，将 $x^{2}, x y, y^{2}$ 分别看成 $u, v, w$ ，则由（1）的结论可知，子二代基因型为 $\mathrm{AA}, \mathrm{Aa}, \mathrm{aa}$ 的比例为 $$ \begin{aligned} \left(x^{2}\right. & +x y)^{2}: 2\left(x^{2}+x y\right)\left(x y+y^{2}\right):\left(x y+y^{2}\right)^{2} \\ & =x^{2}(x+y)^{2}: 2 x y(x+y)(x+y): y^{2}(x+y)^{2} \\ & =x^{2}: 2 x y: y^{2} . \end{aligned} $$ 故子二代与子一代比例相同． \section*{模拟试题56}