第7题
甲、乙、丙、丁四人参加比赛，有两人获奖，结果揭晓之前，四人做了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没获奖，丙获奖了； 丙：甲、丁中有且只有一个人获奖； T ：乙说得对。 已知四人中有且只有两人猜测正确，那么两个获奖者是 ．
A
乙、丙
B
甲、乙
C
乙、丁
D
甲、丁
✅ 有答案
C． 因为乙和丁说法是相同的，所以乙和丁同时正确或者同时错误． 若乙、丁同时正确，则甲和丙的猜测是错的，可得乙没有获奖，丙获奖，这样还有一个获奖的人在甲、丁之间，这与丙所说的矛盾，从而得出乙、丁说法同时错误，所以可推出乙、丁获奖。
第20题
有一小型赛马场，每次可供 8 匹马比赛，并决出它们的快慢（不计时）．若马在不同场的比赛中速度是不变的，则： （1）如果有 16 匹马，至少需要举行多少场比赛，可以将它们按照快慢逐一排序？ （2）如果有 32 匹马，至少需要举行多少场比赛，可以将它们按照快慢逐一排序？
✅ 有答案
（1）将 16 匹马均分成两组，每组各比赛一场，并将它们按速度快慢进行排序．每组各 8 匹马从快到慢的排序分别为：（1）$A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{8}$ ；（2）$B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$ ， $B_{5}, B_{6}, B_{7}, B_{8}$ ．现在举行第三场两组各前 4 名的比赛，即由 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$这 8 匹马比赛．它们中前 4 名一定不会比 $A_{4}$ 与 $B_{4}$ 慢，一定比 $A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{8}$ 及 $B_{5}, B_{6}$ ， $B_{7}, B_{8}$ 快．因此，这场比赛的前 4 名，就是 16 匹马中的前 4 名；同理，第四场比赛，两组各后 4名 $A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{8}$ 及 $B_{5}, B_{6}, B_{7}, B_{8}$ 这 8 匹马赛一场，它们的后 4 名，亦为 16 匹马中的后 4名。这样 16 匹马的前 4 名与后 4 名都确定了，还需确定中间的 8 名，即从第 5 名到第 12 名。只要将第三场比赛中的后 4 名和第四场比赛中的前 4 名这 8 匹马再赛一场，就能决出中间从第 5 名到第 12 名的名次。至此，通过 5 场比赛就可将这 16 匹马的快慢逐一排序。 （2）首先将 32 匹马均分成两组， 16 匹一组，两组决出组内快慢各需 5 场比赛，合计 10场比赛．再考虑整合这两组马匹的快慢，利用（1）中办法，还共需 $32 \div 4-1=8-1=7$ 场比赛，这样举行 17 场比赛后可按照快慢将 32 匹马逐一排序． \section*{模拟试题34}
第20题
一赛马场因跑道大小的原因，每次只能供 9 匹马同时比赛，每次比赛可决出它们的名次，但不计时，不同的比赛中每匹马的速度不变。现在有 27 匹马，它们的速度各不相同，那么能否通过不超过 10 场的比赛，将这 27 匹马的速度从快到慢一一排序？
✅ 有答案
将 27 匹马平均分成三组，每组各比赛一场，并将它们按速度快慢进行排序．设每组各 9 匹马从快到慢的排序分别为：（1）$A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}, A_{7}, A_{8}, A_{9}$ ；（2）$B_{1}, B_{2}, B_{3}$ ， $B_{4}, B_{5}, B_{6}, B_{7}, B_{8}, B_{9}$ ；（3）$C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}, C_{5}, C_{6}, C_{7}, C_{8}, C_{9}$ ．现在举行第四场三组各前 3名的比赛，即 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, B_{1}, B_{2}, B_{3}, C_{1}, C_{2}, C_{3}$ 这 9 匹马的比赛．它们中的前 3 名，一定不会比 $A_{3}, B_{3}, C_{3}$ 慢，所以一定比 $A_{4}, A_{5}, \cdots, A_{9}, B_{4}, B_{5}, \cdots, B_{9}, C_{4}, C_{5}, \cdots, C_{9}$ 快。 因此，这场比赛的前 3 名，就是 27 匹马中的前 3 名；其他 6 匹回到各自原来的组内，这时三组的马匹数量就不一定相同了。 同理，第五场比赛，在三组各自留下的马匹中取出新的前 3 名，这 9 匹马赛一场，它们的前 3 名亦为 27 匹马中的第4、第5与第 6 名。 完全类似的情况：第六场决出第7、第8、第9名；第七场决出第10、第11、第12名；第八场决出第13、第14、第15名；第九场决出第16、第17、第18名。至此，还有第19～27名这 9匹马的速度需要进一步确定，这时只需一场比赛就够了。 这样通过 10 场比赛，便可将这 27 匹马按速度的快慢逐一排序． \section*{模拟试题35}
第26题
有三只股票 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, 28$ 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一只股票，在不持有 A 股票的人中，持有 B 股票的人数是持有 C 股票的人数的 2 倍，在持有 A 股票的人中，只持有 A 股票的人数比除了持有 A 股票外同时还持有其他股票的人数多 1 ．在只持有一只股票的人中，有一半持有 A 股票，则只持有 B 股票的股民人数是（ ）．
A
7
B
6
C
5
D
4
✅ 有答案
A． \begin{figure} 设只持有 A 股票的人数为 $X$ ，如图 J10 所示，则除了持有 A股票外还持有其他股票的人数为 $X-1$（图中 $d+e+f$ 部分）．因为只持有一只股票的人中，有一半没持有 B 或 C 股票，则只持有 B 或 C 股票的人数和为 $X$（图中 $b+c$ 部分）。假设只同时持有 B 和 C 股票的人数为 $a$ ，那么 $X+X-1+X+a=28$ ，即 $3 X +a=29$ ，则 $X$ 的取值可能是 $9,8,7,6,5,4,3,2,1$ ，与之对应的 $a$ 值为 $2,5,8,11,14,17,20,23,26$ ． 因为没持有 A 股票的股民中，持有 B 股票的人数为持有 C股票的人数的 2 倍，所以 $b+a=2(c+a)$ ，即 $X-a=3 c$ ，故 $X=8, a=5$ 时满足题意，则 $c=1, b=7$ ，故只持有 B 股票的股民人数是 7 ．
第28题
老王和小王父子俩玩一种类似于古代印度的＂梵塔游戏＂：有三个柱子甲、乙、丙，在甲柱上现有四个盘子，最上面的两个盘子大小相同，从第二个盘子往下大小不等，大的在下，小的在上（图3），把这四个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏即结束。在移动过程中每次只能移动一个盘子，甲、乙、丙柱都可以利用，且三个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为 $n$ ，则 $n$ 等于（ ）．
A
7
B
8
C
11
D
15
✅ 有答案
C． 由题意，根据甲、乙、丙三图可知最上面的两个是一样大小的，所以比三个盘子不同时操作的次数 $\left(2^{3}-1\right)$ 要多，比四个盘子不同时操作的次数 $\left(2^{4}-1\right)$ 要少，相当于与操作三个不同盘子时相比，最上面的那个动了几次，就会增加几次，故游戏结束需要移动的最少次数为 11 ．
共 5 题