质数 - 测试题库 - 强基数学

第7题

套35

a, b$ 是正整数，且 $\left(a, b^{2}\right)$ 是 $f(x)=x^{2}+x+11$ 图像上一点，则 $a-b=$ $\_\_\_\_$ ．

✅ 有答案

-1 ． $$ \begin{aligned} & b^{2}=a^{2}+a+11 \Rightarrow 4 a^{2}+4 a-4 b^{2}+44=0 \\ & \Rightarrow(2 a+1)^{2}-4 b^{2}+43=0 \\ & \Rightarrow 4 b^{2}-(2 a+1)^{2}=43 \\ & \Rightarrow[2 b+(2 a+1)][2 b-(2 a+1)]=43(43 \text { 是质数), } \\ & 2 b+(2 a+1)>2 b-(2 a+1) \Rightarrow\left\{\begin{array} { l } { 2 b + ( 2 a + 1 ) = 4 3 , } \\ { 2 b - ( 2 a + 1 ) = 1 } \end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} a=10, \\ b=11 . \end{array}\right.\right. \end{aligned} $$ 故 $a-b=-1$ ．

第2题

套47

$a, b, c, d, e$ 均为素数，且平均数为 13 ，则．

A 中位数最大为 17

B 中位数最大为 19

C 中位数最小为 5

D 中位数最小为 7

✅ 有答案

B．取 $(a, b, c, d, e)=(3,3,3,19,37)$ ，排除选项 CD。取 $(a, b, c, d, e)=(3,5,19,19,19)$ ，排除选项 A．故选项 B 正确．因为若中位数 $>19$ ，则中位数 $\geqslant 23$ ，故总和 $\geqslant 69$ ，矛盾．

第9题

套47

七个互不相等的素数排成一排，任意相邻的三个和均大于 100 ，则这七个素数的和的最小值为 $\_\_\_\_$。

✅ 有答案

208. 设七个数为 $a, b, c, d, e, f, g$ ，并设 $a, d, g$ 中最大的数为 $a$ ，则 $a \geqslant 5$ ．故七个数的和 $\geqslant 5+101+101=207$ ．若为 207 ，则 $a=5, d, g$ 中必有 2 ，故最小为 208 ．这七个素数 $2,29,71,5,79,19,3$ 符合条件．