集合论

27. 解法 1（列举法）$(\varnothing,\{1,2,3\})$ ； $(\{1\},\{2,3\}),(\{1\},\{1,2,3\})$ ，将 1 换成 2 或 3 ，同理可得各 2 对，共 6 对； $(\{1,2\},\{3\}),(\{1,2\},\{1,3\}),(\{1,2\},\{2,3\}),(\{1,2\},\{1,2,3\})$, 将 $\{1,2\}$ 换成 $\{1,3\}$或 $\{2,3\}$ ，同理可得各 4 对，共 12 对； 当 $A=\{1,2,3\}$ 时，$B$ 可以任意取，共 8 对． 综上所述，这样的 $(A, B)$ 的个数为 27 ． 解法 2 利用文氏图可直接得到．

76 ． 令 $A=\{3 k+1 \mid k=0,1,2, \cdots, 33\} \cup\{3 k+2 \mid k=0,1,2, \cdots, 32\} \cup\{9,18,36,45,63,72$ ， $81,90,99\}$ ，则 $A$ 显然合乎条件，此时 $|A|=76$ ．另一方面，考查 24 个集合 $A_{k}= \{k, 3 k\}(k=1,2,12,13, \cdots, 33)$ ，它们含有 48 个互异的数，去掉这些数后，$X$ 中还有 52 个数．将这 52 个数中的每一个数都作成一个单元素集合，连同前面 24 个集合共 $52+24=76$个集合．若 $|A|>76$ ，则 $A$ 必含有某个集合 $A_{k}$ 中的 2 个数，其中较大的数是较小的数的 3倍，矛盾． 综上所述，$|A|$ 的最大值是 76 ．

5 ． 先考虑 $A$ 中元素不多于三个，再考虑 $B$ 中元素不多于两个，举一例即可．

167. 注意到当集合中的任何一个自然数有一位上的数是 $5,6,7,8$ 时，则与它的后继相邻数的和会出现进位．只有任何一位上的数在 $1,2,3,4,0$ 中时才会不出现进位，对没有出现 5,6 ， 7,8 但出现 9 的数另行考虑（按尾数 $9,99,999$ 处理）．故可求得不出现进位的对数为 167 ．

$1-5,2-10, \cdots, 400-2000$ 中每组只能存在一个，所以只需去掉 5 的倍数，保留 25的倍数，再去掉 125 的倍数，保留 625 的倍数，最大值为 1667 。

A． 若 $a, b$ 均为正偶数，则 $a$ 从 $2,4,6,8,10,12,14$ 中任取一个，$b$ 相应取 $16-a$ 。该情况 $M$ 中有 7 个元素．若 $a, b$ 均为正奇数，则 $a$ 从 $1,3,5,7,9,11,13,15$ 中任取一个，$b$ 相应取 16－a．该情况 $M$ 中有 8 个元素．若 $a, b$ 一奇一偶，则只能 $\left\{\begin{array}{l}a=1, \\ b=16\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a=16, \\ b=1,\end{array}\right.$ 此时有 2 个元素．故共有 $8+7+2=17$ 个元素．

D． 因为集合 $A \cup B$ 比集合 $A$ 新增了 $n-l$ 个元素，故集合 $X$ 子集的个数为 $2^{n-l}$ ，应选 D．

602. $M=\{1\}$ 时 $N$ 有 $\mathrm{C}_{5}^{1}+\mathrm{C}_{5}^{2}+\mathrm{C}_{5}^{3}+\mathrm{C}_{5}^{4}+\mathrm{C}_{5}^{5}=2^{5}-1$ 种取法，类似分析其他情况。所有有序集合对个数为 $$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{5} \mathrm{C}_{6}^{k}\left(2^{6-k}-1\right) & =\sum_{k=1}^{5} \mathrm{C}_{6}^{k} 2^{6-k}-\sum_{k=1}^{5} \mathrm{C}_{6}^{k} \\ & =(1+2)^{6}-\left(\mathrm{C}_{6}^{0} 2^{6}+\mathrm{C}_{6}^{6} 2^{0}\right)-\left(2^{6}-\mathrm{C}_{6}^{0}-\mathrm{C}_{6}^{6}\right) \\ & =3^{6}-\left(2^{6}+1\right)-\left(2^{6}-2\right)=3^{6}-2^{7}+1 \\ & =729-128+1=602 \end{aligned} $$

$\{5,1,0,-2\}$ ． $M$ 的所有三元子集中，每个元素均出现了三次，所以 $$ 3\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\right)=-1+3+4+6=12 $$ 即 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=4$ ，于是 $M$ 中的四个元素分别为 $4-(-1)=5,4-3=1,4-4=0,4- 6=-2$ 。故 $M=\{5,1,0,-2\}$ 。

A． 设 $A$ 中最大的数是 $k$ ，则 $A=A^{\prime} \cup\{k\}$ ，且 $A^{\prime} \subseteq\{1,2, \cdots, k-1\}$ ，而 $B \subseteq \{k+1, k+2, \cdots, n\}$ ，从而非空子集对 $(A, B)$ 的数目是 $2^{k-1}\left(2^{n-k}-1\right)=2^{n-1}-2^{k-1}$ ；由分类计数原理，可知不同选法总数是 $\sum_{k=1}^{n-1}\left(2^{n-1}-2^{k-1}\right)=n \cdot 2^{n-1}+1$ ．

D． 不妨设 $x_{1}<x_{2}<x_{3}<x_{4}<x_{5}$ ，则 $x_{1}+x_{2}=4, x_{4}+x_{5}=14$ ．在 $A$ 的二元子集中，每一元素出现 4 次，所以 $$ 4\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}\right)=4+5+6+7+8+9+10+12+13+14, $$ 则 $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=22$ ，于是 $x_{3}=4$ ．又 $x_{1}+x_{3}>x_{1}+x_{2}$ ，则 $x_{1}+x_{3}=5$ ，所以 $x_{1}=1$ ，从而 $x_{2}=3$ ，又 $x_{3}+x_{5}$ 大小仅次于 $x_{4}+x_{5}$ ，所以 $x_{3}+x_{5}=13$ ，则 $x_{5}=9$ ，从而 $x_{4}=5$ ．故 $A= \{1,3,4,5,9\}$ ．

-2 ． 因为 $2 \notin\{0,-2\}$ ，故 $b$ 和 $a-b$ 中必有一个为 0 ，一个为 -2 ．若 $a-b=0$ ，则 $a=b=$ -2 ，这样集合 $B=\{4,-4\}$ ，矛盾，所以 $b=0, a=-2$ ．故 $a+b=-2$ ．

95. 对于每个满足条件的数 $n$ ，数 $2 n$ 应当被 $3,5,7$ 除皆余 1 ，且为偶数，因此， $2 n-1$ 应当是 $3,5,7$ 的公倍数，且为奇数，即 $2 n-1$ 是 105 的奇倍数．而当 $n \in\{1,2, \cdots, 10000\}$ 时， $2 n-1 \in\{1,2, \cdots, 1999\}\}$ ，由于在 $\{1,2, \cdots, 1999\}\}$ 中，共有 190 个数是 105 的倍数，其中的奇倍数恰有 95 个。