📝 中国科学院大学 2023年强基真题

（1）给定实系数多项式 $\displaystyle f(x)$ ，若存在实数 $\displaystyle c$ ，使得 $\displaystyle f(c)=0$ ，求证：存在多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle f(x)=(x-c) g(x)$（15 分）； （2）求证：一个次数为 $\displaystyle n$ 的实系数多项式至多有 $\displaystyle n$ 个实根（10 分）； （3）称一个数为代数数，如果它为一个整系数多项式的根，求证：所有代数数构成的集合是可数的（ 25 分）。

（1）写出平面图欧拉公式并证明（10 分）； （2）求证：使用凸多面体的外角之和为 $\displaystyle 4 \pi$（15分）； （3）求证：正多面体的面的个数只能是 $\displaystyle 4,6,8,12,20$（25 分）。