2025年考研数学二第14题

将 $t=0$ 代入第二个方程 $2t - \int_{1}^{y+t^{2}} e^{-u^{2}} \, du = 0$。由于 $2 \times 0 = 0$，方程化为 $0 - \int_{1}^{y+0^{2}} e^{-u^{2}} \, du = 0$，即 $-\int_{1}^{y} e^{-u^{2}} \, du = 0$。两边同时乘以 $-1$ 得 $\int_{1}^{y} e^{-u^{2}} \, du = 0$。被积函数 $e^{-u^{2}}$ 恒为正（指数函数恒大于零），因此积分值为零当且仅当积分上下限相等，即 $y = 1$。故 $t=0$ 时对应的 $y$ 值为 $1$。

已知第二个方程为： $$2t - \int_{1}^{y+t^2} e^{-u^2} \, du = 0.$$ 我们需要对方程两边关于 $t$ 求导。注意 $y$ 是 $t$ 的函数，因此积分上限 $y+t^2$ 也是 $t$ 的函数。 首先，左边第一项 $2t$ 对 $t$ 求导得 $2$。 第二项是 $\int_{1}^{y+t^2} e^{-u^2} \, du$，这是一个变上限积分，其上限为 $\varphi(t) = y(t) + t^2$。根据莱布尼茨法则，对 $t$ 求导得到： $$\frac{d}{dt} \int_{1}^{\varphi(t)} e^{-u^2} \, du = e^{-[\varphi(t)]^2} \cdot \varphi'(t).$$ 这里 $\varphi'(t) = \frac{dy}{dt} + 2t$。 因此，原方程左边对 $t$ 求导的结果为： $$2 - e^{-(y+t^2)^2} \cdot \left( \frac{dy}{dt} + 2t \right) = 0.$$ 这就是对第二个方程两边关于 $t$ 求导后得到的关系式。

将已知条件 $t=0$ 和 $y=1$ 代入上一步得到的求导后的方程： $$2 - e^{-1} \cdot \left( \frac{dy}{dt} + 0 \right) = 0$$ 其中 $e^{-1}$ 即 $\frac{1}{e}$。整理方程： $$2 - \frac{1}{e} \cdot \frac{dy}{dt} = 0$$ 移项得： $$\frac{1}{e} \cdot \frac{dy}{dt} = 2$$ 两边同时乘以 $e$： $$\frac{dy}{dt} = 2e$$ 因此，在 $t=0$ 时刻，$\frac{dy}{dt} = 2e$。

已知参数方程的第一式为 $x = \ln(1 + 2t)$。我们需要求 $\frac{dx}{dt}$。根据对数函数求导法则，对于函数 $x = \ln(u)$，其中 $u = 1 + 2t$，其导数为 $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dt}$。计算 $\frac{du}{dt} = 2$，因此 $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{1 + 2t} \cdot 2 = \frac{2}{1 + 2t}$。题目要求代入 $t = 0$ 时的导数值，将 $t = 0$ 代入得 $\frac{dx}{dt}\big|_{t=0} = \frac{2}{1 + 2 \cdot 0} = \frac{2}{1} = 2$。因此，在 $t = 0$ 处，$x$ 关于 $t$ 的变化率为 $2$。

已知参数方程 $x = x(t)$，$y = y(t)$，则一阶导数 $\frac{dy}{dx}$ 的计算公式为： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \quad (dx/dt \neq 0). $$ 在前面的步骤中，我们已经分别求出了 $t=0$ 时的导数值： $$ \left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=0} = 2e, \qquad \left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0} = 2. $$ 将这两个值代入公式，得到： $$ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=0} = \frac{2e}{2} = e. $$ 因此，在 $t=0$ 对应的点处，曲线切线的斜率为 $e$。 **最终答案验证**： - 代入数值后，分子分母约去公因数2，结果简洁为 $e$。 - 检查分母 $dx/dt = 2 \neq 0$，公式使用条件满足。 - 若将 $t=0$ 代回原参数方程，可得对应点坐标，进一步验证切线方程时斜率 $e$ 合理。 综上，所求导数值为 $e$。