💡 答案解析
**答案**: $3 x^{2}-4 x y+5 y^{2}=4$
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**解析**:
解：
$$
\begin{aligned}
& (2 y-3 x) \mathrm{d} x+(2 x-5 y) \mathrm{d} y=0 \\
& \Rightarrow 2 y \mathrm{~d} x+2 x \mathrm{~d} y-3 x \mathrm{~d} x-5 y \mathrm{~d} y=0 \\
& \Rightarrow \mathrm{~d}(2 x y)-\mathrm{d}\left(\frac{3}{2} x^{2}\right)-\mathrm{d}\left(\frac{5}{2} y^{2}\right)=0
\end{aligned}
$$
即
$$
\begin{aligned}
& \mathrm{d}\left(2 x y-\frac{3}{2} x^{2}-\frac{5}{2} y^{2}\right)=0 \\
& \Rightarrow 2 x y-\frac{3}{2} x^{2}-\frac{5}{2} y^{2}=c
\end{aligned}
$$
又因为
$$
y(1)=1
$$
则
$$
2-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}=c, \Rightarrow c=-2
$$
即
$$
\begin{aligned}
& 2 x y-\frac{3}{2} x^{2}-\frac{5}{2} y^{2}=-2 \\
& 3 x^{2}-4 x y+5 y^{2}=4
\end{aligned}
$$
则所求方程为 $y=\displaystyle\frac{2 x+\sqrt{20-11 x^{2}}}{5}$ ．
📋 详细解题步骤
目标：将方程写成全微分形式
给定微分方程为：
$$(2y-3x)dx+(2x-5y)dy=0$$
我们的目标是将其写成某个函数 $F(x,y)$ 的全微分形式 $dF=0$。
首先，将方程展开，分别写出 $dx$ 和 $dy$ 的系数：
$$(2y-3x)dx + (2x-5y)dy = 0$$
观察各项，尝试将表达式分解为已知全微分的组合。回忆全微分公式：
$$d(xy) = y\,dx + x\,dy$$
$$d(x^2) = 2x\,dx$$
$$d(y^2) = 2y\,dy$$
将原方程中的项与这些全微分对比：
- 项 $2y\,dx$ 和 $2x\,dy$ 恰好是 $d(2xy)$ 的一部分，因为 $d(2xy)=2y\,dx+2x\,dy$。
- 项 $-3x\,dx$ 可以写成 $-\frac{3}{2}d(x^2)$，因为 $d\left(\frac{3}{2}x^2\right)=3x\,dx$，所以 $-3x\,dx = -d\left(\frac{3}{2}x^2\right)$。
- 项 $-5y\,dy$ 可以写成 $-\frac{5}{2}d(y^2)$，因为 $d\left(\frac{5}{2}y^2\right)=5y\,dy$，所以 $-5y\,dy = -d\left(\frac{5}{2}y^2\right)$。
因此，原方程可以重新组合为：
$$(2y\,dx+2x\,dy) - \frac{3}{2}d(x^2) - \frac{5}{2}d(y^2) = 0$$
即：
$$d(2xy) - d\left(\frac{3}{2}x^2\right) - d\left(\frac{5}{2}y^2\right) = 0$$
利用全微分的线性性质，合并为：
$$d\left(2xy - \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}y^2\right) = 0$$
至此，方程已成功写成全微分形式。
公式：$$d\left(2xy - \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}y^2\right) = 0$$
提示：将方程拆解为已知全微分的线性组合，注意系数匹配，利用 $d(xy)=y\,dx+x\,dy$ 是关键。
目标：积分得到通解
由步骤1已得到全微分形式：
$$d\left(2xy - \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}y^2\right) = 0$$
对等式两边同时积分。左边是某个函数$F(x,y)$的全微分，积分后得到该函数本身加上一个常数；右边对零积分仍为零。因此有：
$$\int d\left(2xy - \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}y^2\right) = \int 0 \, dx$$
积分结果即为：
$$2xy - \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}y^2 = C$$
其中$C$为任意常数。
注意：这里对全微分方程积分时，实际上是对变量$x$或$y$进行不定积分，但由于全微分形式已经确定，直接写出原函数即可。验证：对$2xy - \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}y^2$求全微分：
$$\frac{\partial}{\partial x}\left(2xy - \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}y^2\right) = 2y - 3x$$
$$\frac{\partial}{\partial y}\left(2xy - \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}y^2\right) = 2x - 5y$$
与步骤1中的系数一致，说明积分正确。
因此，原微分方程的通解为：
$$2xy - \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}y^2 = C$$
公式：$$2xy - \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}y^2 = C$$
提示：全微分方程积分时，直接写出原函数，注意常数C不可遗漏。
目标：代入初始条件求常数
已知通解为 $y = 2x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} + Cx^2$，其中 $C$ 为待定常数。题目给出的初始条件为 $x=1$ 时 $y=1$。将 $x=1$ 代入通解表达式：
$$y(1) = 2 \cdot 1^2 - \frac{3}{2} \cdot 1 - \frac{5}{2} + C \cdot 1^2 = 2 - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} + C.$$
计算常数项部分：$2 - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = 2 - \frac{8}{2} = 2 - 4 = -2$。因此 $y(1) = -2 + C$。
根据初始条件 $y(1)=1$，得到方程 $-2 + C = 1$，解得 $C = 3$。
故常数 $C = 3$，代入通解得特解为 $y = 2x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} + 3x^2 = 5x^2 - \frac{3}{2}x - \frac{5}{2}$。
公式：$$y(1)=2-\frac{3}{2}-\frac{5}{2}+C=1 \Rightarrow C=3$$
提示：代入初始条件时，注意每一项都要正确代入，并仔细进行分数加减运算。
目标：整理得到最终隐式解
将上一步得到的通解中的任意常数 $C$ 替换为初始条件确定的特定值 $C = -2$，得到特解表达式：
$$\frac{3x^2 - 4xy + 5y^2}{2} = -2.$$
为了得到更简洁的隐式解形式，两边同时乘以 $2$，消去分母：
$$3x^2 - 4xy + 5y^2 = -4.$$
接着将常数项移到等号左边，即两边同时加上 $4$：
$$3x^2 - 4xy + 5y^2 + 4 = 0.$$
但通常隐式解习惯将常数项写在等号右边，因此更常见的写法是移项得到：
$$3x^2 - 4xy + 5y^2 = 4.$$
验证：将初始条件 $x=1, y=1$ 代入上式，左边为 $3(1)^2 - 4(1)(1) + 5(1)^2 = 3 - 4 + 5 = 4$，右边为 $4$，等式成立，说明解正确。因此，原微分方程满足给定初始条件的隐式解为 $3x^2 - 4xy + 5y^2 = 4$。
公式：$$3x^2 - 4xy + 5y^2 = 4$$
提示：最后一步整理时，注意符号和等式两边同时运算，代入初始条件验证可确保正确。