💡 答案解析
**答案**: $k\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 4\end{array}\right), k$ 为任意常数
---
**解析**:
由于 $\alpha_{1}+\alpha_{2}=\alpha_{3}+\alpha_{4}$ ，故 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性相关；且已知 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，
则 $r(A)=3$ 。那么 $A x=\alpha_{1}+4 \alpha_{4}$ 等价于 $\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)=\alpha_{1}+4 \alpha_{4}$ ，故 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ 是 $A x=\alpha_{1}+4 \alpha_{4}$ 的一个特解。又因为 $\alpha_{1}+\alpha_{2}=\alpha_{3}+\alpha_{4}$ ，即 $\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{3}-\alpha_{4}=0$ ，则 $\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)=0$ 。由 $s=n-r(A)=4-3=1$ 可得，$\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)$ 是 $A x=0$ 的一个基础解
系，故 $A x=\alpha_{1}+4 \alpha_{4}$ 的通解为
$k\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ ，其中 $k$ 为任意常数。
三、解答题： $17 \sim 22$ 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
📋 详细解题步骤
目标：确定矩阵A的秩
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，且满足关系式 $\alpha_1 + \alpha_2 = \alpha_3 + \alpha_4$。由此可得 $\alpha_4 = \alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3$，即 $\alpha_4$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。因此，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的秩等于向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的秩。由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，其秩为3，故 $r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = 3$。
矩阵 $A$ 由列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 构成，即 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$。矩阵的秩等于其列向量组的秩，因此 $r(A) = r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = 3$。
综上，矩阵 $A$ 的秩为3。
公式：r(A) = r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = 3
提示：利用已知等式将α4表示为α1,α2,α3的线性组合，从而确定秩。
目标：寻找非齐次方程组的一个特解
已知非齐次线性方程组为 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{\alpha}_1 + 4\boldsymbol{\alpha}_4$，其中 $A = (\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4)$ 为 $4\times4$ 矩阵。将右端项表示为系数矩阵列向量的线性组合：$\boldsymbol{\alpha}_1 + 4\boldsymbol{\alpha}_4 = A \cdot (1,0,0,4)^\mathrm{T}$。因此，方程组可写为 $A\boldsymbol{x} = A\boldsymbol{\eta}^*$，其中 $\boldsymbol{\eta}^* = (1,0,0,4)^\mathrm{T}$。显然，$\boldsymbol{\eta}^*$ 满足方程，故它是非齐次方程组的一个特解。该特解直接由右端项在列向量组下的坐标给出，无需进一步计算。
公式：$$\boldsymbol{\eta}^* = (1,0,0,4)^\mathrm{T}$$
提示：观察右端项系数，直接写出对应坐标作为特解，避免盲目求解。
目标：寻找齐次方程组的基础解系
已知条件中给出向量关系 $\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 - \alpha_4 = 0$，将其改写为矩阵乘法形式：
$$(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1\\-1\end{pmatrix} = 0.$$
令 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4)$，则上式表明 $\xi = (1,1,-1,-1)^T$ 满足 $A\xi = 0$，即 $\xi$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的一个非零解。
由于 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是 $4$ 维向量，且已知它们线性相关（存在非零组合系数），因此方程组 $Ax=0$ 有非平凡解。基础解系中解向量的个数等于 $n - \text{rank}(A)$，其中 $n=4$。根据题目信息（前序步骤已确定 $\text{rank}(A)=3$），故基础解系应包含 $4-3=1$ 个线性无关的解向量。
我们已经找到一个非零解 $\xi = (1,1,-1,-1)^T$，且该解非零，因此它本身即可构成一个基础解系。即齐次方程组 $Ax=0$ 的基础解系为 $\{ \xi \}$。
验证：将 $\xi$ 代入 $A\xi = 0$，由已知条件直接成立。且 $\xi$ 的任意非零倍数也是解，但基础解系只需一个线性无关的向量。
公式：$$\xi = (1,1,-1,-1)^T$$
提示：注意基础解系中解向量的个数等于未知量个数减去系数矩阵的秩。
目标：确定基础解系所含向量个数
已知方程组为齐次线性方程组，未知数个数 $n=4$。通过前几步的初等行变换，已求得系数矩阵的秩 $r(A)=3$。根据线性方程组解的结构理论，对于齐次线性方程组 $Ax=0$，其基础解系所含向量的个数（即解空间的维数）等于未知数个数减去系数矩阵的秩，即 $s = n - r(A)$。代入数值：$s = 4 - 3 = 1$。因此，该方程组的基础解系中只包含一个线性无关的解向量。这意味着所有解都可以表示为该向量的常数倍，即通解形式为 $x = k \xi$，其中 $k$ 为任意常数，$\xi$ 即为一个基础解系。由此，我们只需要求出一个非零解向量即可构成基础解系。
公式：$$s = n - r(A) = 4 - 3 = 1$$
提示：基础解系向量个数只与n和r(A)有关，与具体方程形式无关。
目标：写出通解
由前几步已求得齐次线性方程组的基础解系为 $\xi = (1,1,-1,-1)^T$，非齐次方程的一个特解为 $\eta^* = (1,0,0,4)^T$。根据非齐次线性方程组解的结构，其通解等于齐次方程的通解加上一个特解，即 $x = k\xi + \eta^*$，其中 $k$ 为任意常数。因此，通解为：
$$
x = k\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\0\\0\\4\end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}.
$$
写成向量形式为：
$$
\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}k+1\\k\\-k\\-k+4\end{pmatrix}.
$$
**验证**：将通解代入原方程组（假设原方程组为 $Ax=b$），由于 $\xi$ 满足 $A\xi=0$，$\eta^*$ 满足 $A\eta^*=b$，则对任意 $k$ 有 $A(k\xi+\eta^*)=kA\xi+A\eta^*=0+b=b$，故通解正确。
公式：x = k\begin{pmatrix}1\\1\\-1\\-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\\0\\0\\4\end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}
提示：通解 = 齐次通解 + 非齐次特解，注意任意常数要写清楚。