2025年考研数学二第5题

首先，明确题目所给的积分区域。原积分区域由以下不等式确定：$x$ 的取值范围是从 $-2$ 到 $2$，$y$ 的取值范围是从 $4 - x^2$ 到 $4$。即： $$-2 \leq x \leq 2, \quad 4 - x^2 \leq y \leq 4.$$ 该区域的上边界是水平直线 $y = 4$，下边界是开口向下的抛物线 $y = 4 - x^2$。抛物线 $y = 4 - x^2$ 的顶点在 $(0, 4)$，与 $x$ 轴的交点满足 $4 - x^2 = 0$，解得 $x = \pm 2$，因此抛物线在 $x = -2$ 和 $x = 2$ 处与直线 $y = 4$ 相交（实际上在 $x = \pm 2$ 处 $y = 4 - 4 = 0$，但此处 $y$ 的下限是 $4 - x^2$，上限是 $4$，所以抛物线 $y = 4 - x^2$ 在 $x = \pm 2$ 时 $y = 0$，而直线 $y = 4$ 在 $x = \pm 2$ 时仍为 $4$，因此区域在 $x = \pm 2$ 处退化为一条垂直线段从 $y=0$ 到 $y=4$）。 为了画出草图，在平面直角坐标系中： 1. 画出水平直线 $y = 4$（一条平行于 $x$ 轴的直线）。 2. 画出抛物线 $y = 4 - x^2$，顶点在 $(0,4)$，开口向下，经过点 $(-2,0)$ 和 $(2,0)$。 3. 用垂直线 $x = -2$ 和 $x = 2$ 标出 $x$ 的范围。 积分区域即为这两条曲线之间、$x$ 从 $-2$ 到 $2$ 的部分。注意：由于抛物线顶点与直线 $y=4$ 相切于 $(0,4)$，因此区域在 $x=0$ 处宽度为 $0$，向两侧逐渐变宽，在 $x=\pm 2$ 处宽度达到最大（从 $y=0$ 到 $y=4$）。 该区域是一个曲边梯形，上底为直线 $y=4$，下底为抛物线 $y=4-x^2$，左右边界为 $x=-2$ 和 $x=2$。草图应清晰标出边界曲线、交点坐标以及 $x$ 和 $y$ 的取值范围。

原积分为 $\int_{-2}^{2} dx \int_{0}^{4-x^2} f(x,y) dy$，积分区域由 $x$ 从 $-2$ 到 $2$，$y$ 从 $0$ 到 $4-x^2$ 描述。该区域是抛物线 $y=4-x^2$ 下方、$y=0$ 上方的部分。交换积分次序时，需将区域用 $y$ 作为外层变量表示。$y$ 的取值范围是从 $0$ 到 $4$（抛物线的最高点）。对于固定的 $y$，$x$ 的范围由方程 $y=4-x^2$ 解出：$x^2=4-y$，即 $x=-\sqrt{4-y}$ 到 $x=\sqrt{4-y}$。但注意原积分中 $x$ 的上下限是 $-2$ 到 $2$，而 $-\sqrt{4-y}$ 和 $\sqrt{4-y}$ 恰好对应 $x$ 的左右边界，因此交换次序后积分形式为 $\int_{0}^{4} dy \int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}} f(x,y) dx$。观察选项，A 选项为 $\int_{0}^{4} dy \int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}} f(x,y) dx$，与推导结果一致。因此正确选项为 A。