2025年考研数学二第4题 - mathabc.xyz

📝 题目

设函数 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零。若当 $x \rightarrow 0$时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，则当 $x \rightarrow 0$ 时，

A

$f(x)+g(x)=o(g(x))$

B

$f(x) g(x)=o\left(f^{2}(x) \right)$

C

$f(x)=o\left(e^{g(x)}-1 \right)$

D

$f(x)=o\left(g^{2}(x) \right)$

💡 答案解析

**答案**: C

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**解析**:

由题易知，$x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 高阶无穷小．

则有 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=0$ 及 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0, \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=0$ ．

又 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 某去心邻域内有定义且不恒等于 0 ．故对于 $A$ 选项，等式两端同除 $g(x)$ 得： $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}+1=\displaystyle\frac{o[g(x)]}{g(x)}$ 取极限得 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0}\left(\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}+1\right)=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{o[g(x)]}{g(x)}$. 即 $0+1=0$ ，显然 A 不成立．

对于 B 选项，等式两端同除 $f^{2}(x)$ 得 $\displaystyle\frac{g(x)}{f(x)}=\displaystyle\frac{d\left[f^{2}(x)\right]}{f^{2}(x)}$

两端取极限得 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{g(x)}{f(x)}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{o\left[f^{2}[x]\right.}{f^{2}(x)}$ ，即 $\infty=0$ ，显然不成立．

对于 C 选项，等式两端同除 $g(x)$ 得 $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle\frac{o\left[e^{g(x)}-1\right]}{g(x)}$

取极限得 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{o\left[e^{g(x)}-1\right]}{g(x)}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{o[g(x)]}{g(x)}$ 显然有 $0=0$ ，故 $c$ 正确．

对于 D 等式两端同除 $g(x)$ 得 $\displaystyle\frac{f(x)}{g^{2}(x)}=\displaystyle\frac{o\left[g^{2}(x)\right]}{g^{2}(x)}$.

取极限得 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{f(x)}{g^{2}(x)}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{o\left[g^{2}(x)\right]}{g^{2}(x)}$ ，显然不成立。

综上选 C。

📋 详细解题步骤

步骤 1/5

目标：明确已知条件

由题意，当$x \to 0$时，$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷小。根据高阶无穷小的定义，若$\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0$，$\lim\limits_{x \to 0} g(x) = 0$，且$\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$，则称当$x \to 0$时，$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷小，记作$f(x) = o(g(x))$。因此，已知条件可明确为： 1. $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0$； 2. $\lim\limits_{x \to 0} g(x) = 0$； 3. $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$； 4. 在$x \to 0$的某去心邻域内，$f(x) \neq 0$，$g(x) \neq 0$（因为无穷小量定义中要求函数在去心邻域内不为零，否则比值无意义）。这些条件是后续步骤中判断极限、比较阶数、进行等价无穷小替换等操作的基础。特别要注意，高阶无穷小关系是相对的，$f(x)$比$g(x)$更快地趋于零。

公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$$

提示：牢记高阶无穷小定义：极限比值为0，且两者均趋于0。

步骤 2/5

目标：分析选项A

选项A的条件是：$f(x) + g(x) = o(g(x))$（当$x \to 0$时）。我们需要判断该等式是否成立。首先，将等式两边同时除以$g(x)$（假设在$x=0$的某去心邻域内$g(x) \neq 0$），得到： $$ \frac{f(x)}{g(x)} + 1 = \frac{o(g(x))}{g(x)}. $$ 根据小$o$记号的定义，$o(g(x))$表示一个函数，满足$\lim_{x \to 0} \frac{o(g(x))}{g(x)} = 0$。因此，上式右端在$x \to 0$时的极限为0。另一方面，由题目已知条件$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$，所以左端$\frac{f(x)}{g(x)} + 1$在$x \to 0$时的极限为$1 + 1 = 2$。于是我们得到：左端极限为2，右端极限为0，矛盾。因此，等式$f(x) + g(x) = o(g(x))$不可能成立，选项A错误。

公式：$$\frac{f(x)}{g(x)} + 1 = \frac{o(g(x))}{g(x)}$$

提示：利用小o定义将等式转化为极限形式，再与已知极限比较。

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