2025年考研数学二第3题
📝 题目
（3）如果对微分方程 $y^{\prime \prime}-2 a y^{\prime}+(a+2) y=0$ 的任意解 $y(x)$ ，反常积分 $\displaystyle\int_0^{+\infty} y(x) d x$均收玫，那么 $a$ 的取值范围是
💡 答案解析
答案: C
解析:
当 $a=-2$ 时，$y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=0$ ，通解：$c_{1}+c_{2} e^{-4 t}, c \neq 0$ 时， $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\left(c_{1}+c_{2} e^{-4 x}\right) d x$不收敛。
故B、D 排除。
当 $a=-\displaystyle\frac{1}{2}$ 时，$y^{\prime \prime}+y^{\prime}+\displaystyle\frac{3}{2} y=0$ ，通解：$y(t)=e^{-\displaystyle\frac{1}{2} t}\left(a_{1} \cos \left(\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2} t\right)+B\left(\sin \displaystyle\frac{\sqrt{5}}{2} t\right)\right)$
$\displaystyle\int_{0}^{+\infty} y(x) d x$ 收玫。
4．设函数 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 某去心邻域内有定义且恒不为 0 ，若 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$的高阶无穷小，则当 $x \rightarrow 0$ 时
A．$f(x)+g(x)=O(g(x))$ ．
B．$f(x) g(x)=O\left(f^{2}(x)\right)$ ．
C．$f(x)=O\left(\mathrm{e}^{g(x)}-1\right)$ ．
D．$f(x)=O\left(g^{2}(x)\right)$ ．