2025年考研数学二第7题

条件(2)为：$\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| - |f(0)|}{x}$ 存在。我们需要证明此条件能推出 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。 分三种情况讨论： **情况1：$f(0) > 0$** 由连续性，存在 $\delta > 0$，当 $|x| < \delta$ 时 $f(x) > 0$，从而 $|f(x)| = f(x)$，$|f(0)| = f(0)$。于是 $$ \lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| - |f(0)|}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0) $$ 存在，故 $f'(0)$ 存在。 **情况2：$f(0) < 0$** 由连续性，存在 $\delta > 0$，当 $|x| < \delta$ 时 $f(x) < 0$，从而 $|f(x)| = -f(x)$，$|f(0)| = -f(0)$。于是 $$ \lim_{x \to 0} \frac{|f(x)| - |f(0)|}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-f(x) + f(0)}{x} = -\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = -f'(0) $$ 存在，故 $f'(0)$ 存在。 **情况3：$f(0) = 0$** 此时 $|f(0)| = 0$，条件变为 $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在。由于 $f$ 在 $x=0$ 处连续且 $f(0)=0$，有 $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$。考虑左右极限： - 当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{|f(x)|}{x} = \left| \frac{f(x)}{x} \right|$（因为 $x>0$）； - 当 $x \to 0^-$ 时，$\frac{|f(x)|}{x} = -\left| \frac{f(x)}{x} \right|$（因为 $x<0$）。 若该极限存在，则左右极限相等，即 $$ \lim_{x \to 0^+} \left| \frac{f(x)}{x} \right| = -\lim_{x \to 0^-} \left| \frac{f(x)}{x} \right| $$ 这迫使 $\lim_{x \to 0} \left| \frac{f(x)}{x} \right| = 0$，从而 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$，即 $f'(0)=0$ 存在。 综上，无论 $f(0)$ 的正负或为零，条件(2)均能推出 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。

条件(3)为：$\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在。由连续性知 $f(0)=0$，但该极限存在仅能保证 $|f(x)| \sim kx$（$k$ 为常数），即 $|f(x)|$ 在 $x=0$ 附近与 $x$ 同阶，无法推出 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的可导性。 构造反例：令 $f(x)=x\left(1+\sin\frac{1}{x}\right)$，并补充定义 $f(0)=0$。则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $$ \frac{|f(x)|}{x} = \left|1+\sin\frac{1}{x}\right| \leq 2, $$ 故 $\lim_{x \to 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在（极限值为 $1$？注意：由于 $\sin\frac{1}{x}$ 振荡，$\left|1+\sin\frac{1}{x}\right|$ 在 $0$ 附近不趋于一个确定值，实际上极限不存在。应修正为：取 $f(x)=x\sin\frac{1}{x}$，则 $|f(x)|/x = |\sin(1/x)|$，极限不存在。更好的反例：$f(x)=x$ 显然可导，故需构造不可导的例子。考虑 $f(x)=x\cdot g(x)$，其中 $g(x)$ 在 $0$ 附近振荡且有界，且 $|g(x)|$ 极限存在。例如取 $g(x)=1+\sin\frac{1}{x}$，但此时 $|g(x)|$ 极限不存在。实际上，条件(3)要求 $\lim_{x\to0}\frac{|f(x)|}{x}$ 存在，可令 $f(x)=x\cdot h(x)$，其中 $h(x)$ 满足 $|h(x)|$ 极限存在但 $h(x)$ 本身极限不存在。例如 $h(x)=1$ 时 $f(x)=x$ 可导；$h(x)=2$ 时也可导。要构造不可导，需 $h(x)$ 振荡且 $|h(x)|$ 趋于常数。取 $f(x)=x\left(1+\sin\frac{1}{x}\right)$，但 $|1+\sin(1/x)|$ 在 $0$ 附近不趋于常数，故不满足条件(3)。 正确反例：令 $f(x)=x\cdot\mathrm{sgn}(x)$？但 $|f(x)|/x=1$ 极限存在，而 $f(x)=|x|$ 在 $0$ 处不可导。但 $f(x)=|x|$ 在 $0$ 处连续且 $f(0)=0$，$\lim_{x\to0}\frac{|f(x)|}{x}=1$ 存在，但 $f$ 在 $0$ 处不可导。因此条件(3)不能保证可导。 综上，条件(3)单独不能推出 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。

条件(4)为：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(-x)}{x}$ 存在。下面分三种情况讨论该条件是否能保证 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。 **情况1：$f(0) > 0$** 由于极限存在，且 $x \to 0$ 时分母 $x \to 0$，分子 $f(x)-f(-x)$ 也必须趋于0，否则极限为无穷大。因此 $\lim_{x \to 0} [f(x)-f(-x)] = 0$。又因为 $f(0)>0$，由连续性（题目未明确给出，但若可导则必连续，此处我们仅分析条件本身），实际上条件(4)并不直接蕴含 $f$ 在0处连续。但若假设 $f$ 在0处连续，则 $f(0)-f(0)=0$ 自动成立。此时可将极限改写为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0) - [f(-x)-f(0)]}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{f(-x)-f(0)}{-x} = f'(0) + f'(0) = 2f'(0). $$ 因此若 $f$ 在0处连续，则条件(4)等价于 $2f'(0)$ 存在，从而 $f$ 在0处可导。但题目并未给出连续性，故不能直接推出可导。 **情况2：$f(0) < 0$** 与情况1类似，若 $f$ 在0处连续，同样可化为导数定义，得到 $2f'(0)$ 存在，从而可导。但同样需要连续性假设。 **情况3：$f(0) = 0$** 此时条件(4)变为 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在。我们可以构造反例说明即使该极限存在，$f$ 在0处也不一定可导。例如取 $f(x) = |x|$，则 $f(0)=0$，且 $$ \frac{f(x)-f(-x)}{x} = \frac{|x|-|x|}{x} = 0, $$ 极限为0存在，但 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导。再如 $f(x) = x \sin\frac{1}{x}$（补充定义 $f(0)=0$），则 $f(x)-f(-x)=2x\sin\frac{1}{x}$，除以 $x$ 得 $2\sin\frac{1}{x}$，极限不存在，故不满足条件。但存在满足条件且不可导的例子，如 $f(x)=x$ 时条件成立且可导，但反例 $|x|$ 表明条件(4)不能保证可导。 综上，条件(4)在 $f(0) \neq 0$ 时需附加连续性才能推出可导，在 $f(0)=0$ 时存在反例，因此条件(4)不能保证 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。