💡 答案解析
**答案**: D
---
**解析**:
令 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ ，为实对称矩阵，对应二次型为 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+b x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}$ ，
则用配方法将其化为标准型，$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+2 x_{2}\right)^{2}+(a-4) x_{2}^{2}+b x_{3}^{2}$ 。已知 $A$ 有一正两负特征值，则
$\left\{\begin{array}{c}a-4\lt 0 \\ b\lt 0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a\lt 4 \\ b\lt 0\end{array}\right.\right.$ ，故选 D．
9．下列矩阵中，可以经过若干初等行变换得到矩阵 $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 的是
A．$\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{array}\right)$ ．
B．$\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)$ ．
B．$\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$.
D．$\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 6\end{array}\right)$ ．
📋 详细解题步骤
目标：识别矩阵性质并写出二次型
首先，观察题目给出的矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}$。由于矩阵 $A$ 满足 $A^T = A$（即转置等于自身），因此 $A$ 是一个实对称矩阵。实对称矩阵的一个重要性质是它对应一个二次型 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3)^T$。
现在写出该二次型的具体表达式。设 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$，则
$$
f(x_1, x_2, x_3) = \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}.
$$
根据矩阵乘法展开：
- 第一项：$1 \cdot x_1 \cdot x_1 = x_1^2$；
- 第二项：$2 \cdot x_1 \cdot x_2 = 2x_1x_2$，但由于对称性，$x_2$ 与 $x_1$ 的交叉项也会贡献 $2x_2x_1$，因此交叉项总和为 $4x_1x_2$；
- 第三项：$a \cdot x_2 \cdot x_2 = a x_2^2$；
- 第四项：$b \cdot x_3 \cdot x_3 = b x_3^2$；
- 其余含 $x_3$ 的交叉项系数均为 $0$。
因此，二次型为
$$
f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + a x_2^2 + b x_3^2 + 4x_1x_2.
$$
注意：二次型中交叉项 $x_1x_2$ 的系数为 $4$，这是因为矩阵中 $a_{12}=a_{21}=2$，而二次型展开时 $2x_1x_2 + 2x_2x_1 = 4x_1x_2$。
公式：f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 + a x_2^2 + b x_3^2 + 4x_1x_2
提示：注意实对称矩阵的交叉项系数是矩阵对应元素的两倍。
目标：用配方法化二次型为标准型
已知二次型为 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+4x_1x_2+ax_2^2+bx_3^2$。第一步已经提取了所有含 $x_1$ 的项：$f=x_1^2+4x_1x_2+ax_2^2+bx_3^2$。现在对 $x_1$ 进行配方。将含 $x_1$ 的项视为关于 $x_1$ 的二次式：$x_1^2+4x_1x_2$。配方时，先加上一次项系数一半的平方，即加上 $(2x_2)^2=4x_2^2$，再减去 $4x_2^2$，以保持原式不变：
$$x_1^2+4x_1x_2 = (x_1^2+4x_1x_2+4x_2^2)-4x_2^2 = (x_1+2x_2)^2-4x_2^2$$
将配方结果代入原二次型：
$$f = (x_1+2x_2)^2-4x_2^2+ax_2^2+bx_3^2 = (x_1+2x_2)^2+(a-4)x_2^2+bx_3^2$$
至此，完成了对 $x_1$ 的配方，二次型化为 $f=(x_1+2x_2)^2+(a-4)x_2^2+bx_3^2$。注意，这里 $x_2$ 和 $x_3$ 的项尚未配方，后续步骤将根据 $a$ 和 $b$ 的取值继续处理。
公式：$$f = (x_1+2x_2)^2+(a-4)x_2^2+bx_3^2$$
提示：配方时，一次项系数一半的平方要准确，并同时减去该值以保持恒等。
目标：根据特征值符号确定惯性指数
在上一步骤中，我们已求得二次型矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = 3 > 0$，$\lambda_2 = -1 < 0$，$\lambda_3 = -2 < 0$。根据实二次型的惯性定理，二次型的标准形中正平方项的个数等于正特征值的个数（计入重数），负平方项的个数等于负特征值的个数（计入重数）。因此，正特征值 $3$ 对应一个正平方项，系数为 $3$；两个负特征值 $-1$ 和 $-2$ 对应两个负平方项，系数分别为 $-1$ 和 $-2$。于是，二次型的正惯性指数 $p = 1$，负惯性指数 $q = 2$，符号差 $s = p - q = 1 - 2 = -1$。惯性指数与坐标变换的选择无关，仅由二次型本身决定。注意：若特征值出现零，则零特征值对应零平方项，不计入正负惯性指数。本题无零特征值，故直接得到 $p=1, q=2$。
公式：$$p = \#\{\lambda_i > 0\}, \quad q = \#\{\lambda_i < 0\}$$
提示：惯性指数只看特征值的正负个数，与特征值大小无关。
目标：列出不等式并求解参数范围
由前一步已得到二次型矩阵的标准型为：
$$
f(x_1,x_2,x_3) = y_1^2 + (a-4)y_2^2 + b y_3^2
$$
其中 $y_1, y_2, y_3$ 是经过正交变换后的新变量。
二次型正定的充要条件是：所有平方项的系数均大于零。但本题中第一个平方项系数为 $1 > 0$，已满足正定条件之一。然而，题目要求二次型 **不正定**，即至少有一个平方项系数非正（小于或等于零）。
由于第一个系数恒为正，因此只需考虑后两个系数：
- 第二个系数：$a-4$
- 第三个系数：$b$
要使二次型不正定，只需 $a-4 \leq 0$ 或 $b \leq 0$。但题目中给出的标准型是经过可逆线性变换得到的，且变换保持正定性，因此我们需严格分析：
若 $a-4 < 0$ 且 $b < 0$，则后两个系数均为负，二次型显然不正定（实际上为不定或负定）。若仅其中一个为负，另一个为正，则二次型也不正定（因为存在正负特征值）。但根据题目选项，我们需要找出同时满足 $a<4$ 且 $b<0$ 的条件，这对应选项D。
因此，列出不等式组：
$$
\begin{cases}
a-4 < 0 \\
b < 0
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
a < 4 \\
b < 0
\end{cases}
$$
最终参数范围为：$a < 4$ 且 $b < 0$，对应选项D。
验证：取 $a=0, b=-1$，则标准型为 $y_1^2 -4y_2^2 - y_3^2$，显然不正定（有负系数）。若取 $a=3, b=-2$，同样不正定。因此结论正确。
公式：\begin{cases} a-4 < 0 \\ b < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a < 4 \\ b < 0 \end{cases}
提示：注意正定要求所有系数>0，不正定只需至少一个系数≤0。