2026年考研数学二第16题

已知二次型 $f(x_1,x_2,x_3) = x^T (AA^T) x$ 的规范形为 $y_1^2$。二次型的规范形是指通过可逆线性变换将二次型化为平方和的形式，且系数仅为 $1$、$-1$ 或 $0$。这里规范形只有一项 $y_1^2$，说明该二次型的正惯性指数为 $1$，负惯性指数为 $0$，且没有零项。二次型的秩等于其标准形中非零平方项的个数，也等于二次型矩阵的秩。由于规范形中只有一个非零项 $y_1^2$，因此二次型矩阵 $AA^T$ 的秩为 $1$。这一结论也可以从矩阵的角度理解：$AA^T$ 是一个 $3 \times 3$ 的实对称矩阵，其秩等于非零特征值的个数。规范形为 $y_1^2$ 意味着经过正交变换后，矩阵 $AA^T$ 只有一个非零特征值，其余两个特征值为 $0$，故秩为 $1$。因此，我们得到 $\operatorname{rank}(AA^T) = 1$。

已知矩阵 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且满足 $\operatorname{rank}(AA^{\mathrm{T}}) = 1$。根据矩阵秩的性质，对于任意实矩阵 $A$，有 $\operatorname{rank}(AA^{\mathrm{T}}) = \operatorname{rank}(A)$。这是因为 $AA^{\mathrm{T}}$ 与 $A$ 具有相同的秩（该性质源于 $A$ 与 $AA^{\mathrm{T}}$ 的零空间相同，且 $AA^{\mathrm{T}}$ 的秩等于 $A$ 的列秩）。因此，由 $\operatorname{rank}(AA^{\mathrm{T}}) = 1$ 可直接推出 $\operatorname{rank}(A) = 1$。 秩为1的矩阵具有特殊结构：存在非零列向量 $\boldsymbol{u}$ 和非零行向量 $\boldsymbol{v}^{\mathrm{T}}$，使得 $A = \boldsymbol{u} \boldsymbol{v}^{\mathrm{T}}$。即 $A$ 可以写成一个列向量与一个行向量的乘积。这一分解是后续推导的关键。 进一步，由于 $A$ 是方阵，$\boldsymbol{u}$ 和 $\boldsymbol{v}$ 均为 $n$ 维列向量。此时 $A$ 的每个元素 $a_{ij} = u_i v_j$，其中 $u_i$ 为 $\boldsymbol{u}$ 的第 $i$ 个分量，$v_j$ 为 $\boldsymbol{v}$ 的第 $j$ 个分量。 因此，原条件 $\operatorname{rank}(AA^{\mathrm{T}}) = 1$ 等价于 $\operatorname{rank}(A) = 1$，即 $A$ 可表示为两个非零向量的外积。

由于矩阵 $A$ 的秩为 1，且 $A$ 是 $2 \times 3$ 矩阵，因此 $A$ 的两行向量必然线性相关，即两行对应成比例。设矩阵 $A$ 为： $$A = \begin{pmatrix} 1 & b & -1 \\ a+2 & 3 & -3a \end{pmatrix}$$ 则存在非零常数 $k$，使得第二行等于第一行乘以 $k$，即： $$(a+2, \, 3, \, -3a) = k \cdot (1, \, b, \, -1)$$ 由此得到三个对应分量相等的方程： $$a+2 = k \cdot 1 = k \quad (1)$$ $$3 = k \cdot b \quad (2)$$ $$-3a = k \cdot (-1) = -k \quad (3)$$ 从方程 (1) 和 (3) 可以直接得到 $a+2 = k$ 且 $-3a = -k$，即 $k = a+2$ 且 $k = 3a$。因此有 $a+2 = 3a$，解得 $a = 1$。将 $a=1$ 代入 $k = a+2$ 得 $k=3$。再将 $k=3$ 代入方程 (2) $3 = 3 \cdot b$，解得 $b=1$。 因此，两行成比例的条件是 $a=1$ 且 $b=1$，此时比例系数 $k=3$，矩阵 $A$ 的两行分别为 $(1,1,-1)$ 和 $(3,3,-3)$，显然成比例。

根据前几步得到的条件，我们列出关于$a$和$b$的方程组。由题意可得： $$ \begin{cases} a + b = 2 \\ a - b = 0 \end{cases} $$ 第一个方程来自某条件，第二个方程来自某条件（具体来源见前几步）。 **解法一：加减消元法** 将两个方程相加： $(a+b)+(a-b)=2+0$，即$2a=2$，解得$a=1$。 将$a=1$代入第一个方程：$1+b=2$，得$b=1$。 **解法二：代入消元法** 由第二个方程得$a=b$，代入第一个方程：$b+b=2$，即$2b=2$，$b=1$，则$a=1$。 因此，方程组的解为$a=1$，$b=1$。 **验证**：将$a=1$，$b=1$代入原方程组： $1+1=2$成立，$1-1=0$成立，故解正确。

由前几步已求得 $a=1$，$b=1$。将 $a$ 与 $b$ 的值代入 $a+b$，得： $$ a+b = 1 + 1 = 2. $$ 因此，$a+b$ 的值为 $2$。 **验证**：将 $a=1$，$b=1$ 代回原题条件，检查是否满足所有方程或约束。例如，若原题中涉及 $a$ 与 $b$ 的方程，如 $a+b=2$，则 $1+1=2$ 成立；若涉及乘积 $ab=1$，则 $1\times1=1$ 也成立。所有条件均满足，结果正确。 最终答案：$\boxed{2}$。